Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 4 из 26)

, (10)

- решение системы уравнений (1), определенное на интервале

, и

, (11)

- решение той же системы уравнений (1), определенное на интервале

. Мы будем говорить, что решение (11) является продолжением решения (10), если интервал содержит интервал (т.е. ) и решение (10) совпадает с решением (11) на интервале . В частности, мы будем считать, что решение (11) является продолжением решения (10) и в том случае, когда оба решения полностью совпадают, т. е. . Решение (10) будем называть непродолжаемым, если не существует никакого отличного от него решения, являющегося его продолжением.

Сформулируем теперь еще одну теорему существования.

Теорема 3. Пусть

(12)

- нормальная линейная система уравнений. Здесь коэффициенты

и свободные члены являются непрерывными функциями независимого переменного i, определенными на некотором интервале . Оказывается, что для любых начальных значений

(13)

существует решение системы (12) с этими начальными значениями, определенное на всем интервале

.

В частности, если коэффициенты и свободные члены системы (12) определены на всей прямой, т. е. если

, то для любых начальных значений существует решение системы (12), определенное на всем бесконечном интервале .

Решения нормальной системы (1) интерпретируются геометрически в виде интегральных кривых (n+1)-мерном пространстве с координатами

. Уравнения интегральной кривой имеют вид:

, (14)

где (14) есть решение системы.

Сама система (1) интерпретируется с помощью поля направлений в (n+1)-мерном пространстве.

Примеры

1. Решим нормальную линейную систему уравнений

(15)

Множеством Г для нее является все трехмерное пространство с координатами

Непосредственно проверяется, что система функций

(16)

где

и — произвольные постоянные, представляет собой решение системы (15). Для того чтобы попадать, что, выбирая надлежащим образом постоянные и , можно получить по формуле (16) произвольное решение, зададимся начальными значениями покажем, что среди решений (16) имеется решение с этими начальными значениями. Мы получаем для постоянных и условия

(17)

Пусть

и - полярные координаты точки , так что

Тогда уравнения (17) переписываются в виде:

Полагая

мы, очевидно, выполним условия (17). Таким образом, через каждую точку

проходит решение, задаваемое формулой (16).

В силу теоремы 2 (единственность) формула (16) охватывает совокупность всех решений.

2. Покажем, что если правые части (2) системы уравнений (1) k раз непрерывно дифференцируемы, т. е. имеют непрерывные производные порядка k (включая смешанные) по всем переменным

, то (k+1)-я производная решения (4) системы (1) существует и непрерывна.

В самом деле, для решения (4) имеет место тождество:

(18)

Если правые части (2) имеют непрерывные первые производные, то правая часть тождества (18) имеет непрерывную производную по t, и потому функция

существует и непрерывна. Дифференцируя написанное тождество (18) k раз, мы последовательно убедимся в существовании и непрерывности всех производных порядков 2, 3,..., k+1 функций .

§ 3. Сведение обшей системы дифференциальных уравнений к нормальной

В предыдущем параграфе была сформулирована теорема существования и единственности для нормальной системы дифференциальных уравнений. Здесь будет показано, каким образом весьма общие системы дифференциальных уравнений сводятся к нормальным системам дифференциальных уравнений, и тем самым будет установлена теорема существования и единственности для этих общих систем уравнений.

Дадим сначала понятие о системе дифференциальных уравнений в общем виде.

В случае одной неизвестной функции х независимого переменного t обычно рассматривается одно уравнение, которое можно записать в виде:

(1)

Здесь t — независимое переменное, х — его неизвестная функция, а F - заданная функция n+2 переменных. Функция F может быть задана не для всех значений ее аргументов, поэтому говорят об области В задания функции F. Здесь имеется в виду открытое множество В координатного пространства размерности n+2, в котором координатами точки являются переменные

. Если максимальный порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, равен n, то говорят, что имеется уравнение n-го порядка. Решением уравнения (1) называется такая непрерывная функция независимого переменного t, определенная на некотором интервале , что при подстановке ее вместо х в уравнение (1) мы получаем тождество по t на интервале . Очевидно, что подстановка в соотношение (1) возможна лишь тогда, когда функция на всем интервале своего существования имеет производные до порядка n включительно. Для того чтобы подстановка в соотношение (1) была возможна, необходимо также, чтобы точка, имеющая координаты , принадлежала множеству В определения функции F при произвольном t интервала .

Если имеются две неизвестные функции одного независимого переменного, то рассматриваются два дифференциальных уравнения, вместе образующих систему уравнений. Система эта может быть написаны в виде:

(2)

Здесь t - независимое переменное, х и у — две его неизвестные функции, F и G - две функции, каждая от

переменных, заданные в некотором открытом множестве В. Если максимальный порядок производной функции х, входящей в систему (2), равен , м максимальный порядок производной функции у, входящей в систему (2), равен , то число называется порядком системы (2) относительно х, число — порядком системы (2) относительно у, а число называется порядком системы (2). Решением системы (2) называется пара непрерывных функций и , заданных на некотором интервале и обладающих тем свойством, что при подстановке их в соотношения (2) мы приходим к тождествам по t на всем интервале . Как и в случае одного уравнения, предполагаются выполненными условия, дающие возможность делать подстановку , , в систему (2).