Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 5 из 26)

Аналогично определяются системы дифференциальных уравнений с тремя и большим числом неизвестных функций от одного независимого переменного. Если неизвестными функциями системы дифференциальных уравнении являются функции

, а наивысший порядок производной функции , входящей в систему, равен то число называется порядком системы относительно , а число называется порядком системы. Таким образом, нормальная система (1) §2 имеет порядок n.

Если соотношение (1) может быть разрешено относительно

, то уравнение (1) переписывается в виде:

(3)

Точно так же, если система (2) может быть разрешена относительно величин

и , то эта система может быть переписана в виде:

(4)

Уравнение (3) и система (4) называются разрешенными относительно высших производных. Аналогично определяются разрешенные относительно высших производных системы с произвольным числом неизвестных функций. В частности, нормальная система (1) § 2 является разрешенной относительно высших производных.

Покажем теперь, что всякая имеющая порядок n система дифференциальных уравнений, разрешенная относительно высших производных. сводится к нормальной системе порядка n. Для начала покажем, как одно уравнение порядка n сводится к нормальной системе порядка n.

А) Пусть

(5)

- одно дифференциальное уравнение порядка n, разрешенное относительно высшей производной. Здесь t — независимое переменное, у — неизвестная функция переменного t. Далее,

есть заданная функция n+1 переменных , определенная в некотором открытом множестве Г координатного пространства размерности n+1. Относительно функции мы будем предполагать, что она непрерывна на множестве Г и что ее частные производные

(где предполагается, что

) также непрерывны на множестве Г. Для замены уравнения (5) нормальной системой уравнений вводятся новые неизвестные функции независимого переменного t при помощи равенств

(6)

Оказывается, что уравнение (5) эквивалентно системе

(7)

Из этого в силу теоремы 2 следует, что для каждой точки

множества Г существует решение уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям

или, как говорят, решение с начальными значениями

(8)

Далее, любые два решения с начальными значениями (8) совпадают на общей части их интервалов определения. Если уравнение (5) линейно, т. е. функция f линейна относительно переменных

, а коэффициенты ее определены и непрерывны на интервале , то для любых начальных значений , где имеется решение , определенное на всем интервале .

Докажем, что уравнение (5) эквивалентно системе (7). Допустим, что функция у удовлетворяет уравнению (5), и докажем, что функции

, определенные соотношениями (6), удовлетворяют системе (7). Дифференцируя соотношения (6), вводящие новые неизвестные функции , получаем:

(9)

(10)

Заменяя правые части соотношений (9) на основе соотношений (6), а правую часть соотношения (10) на основании уравнения (5), которому функция у удовлетворяет, мы получаем систему (7). Допустим, что, наоборот, функции

удовлетворяют системе (7); примем тогда за у покажем, что функция у удовлетворяет уравнению (5). Полагая в первом из уравнении системы (7) получаем . Заменяя во втором из уравнений (7) через , получаем . Продолжая это построение дальше, мы приходим к соотношениям (6). Наконец, заменяя в последнем из уравнений системы (7) каждую функцию в силу формул (6), получаем уравнение (5) для у.

Так как функция f определена на множестве Г, то правые части системы (7) также определены на множестве Г при условии замены координат по формулам (6). Для системы (7) выполнены условия теоремы 2 на множестве Г. Таким образом, можно произвольно выбрать начальные значения

в множестве Г. Эти начальные значения в силу замены (6) превращаются в начальные значения

для уравнения (5).

Если уравнение (5) линейно, то система (7) также линейна. Из этого в силу теоремы 3 вытекает заключительная часть предложения А). Таким образом, предложение А) доказано.

Прием, описанный в предложении А), дает возможность привести к нормальной системе произвольную систему дифференциальных уравнений, разрешенную относительно высших производных.

§4. Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если все неизвестные функции и их производные, вместе взятые, входят в уравнения системы линейно. Таким образом, система линейных уравнений самого общего вида может быть записана в форме

(1)

Здесь

- неизвестные функции независимого переменного t, а коэффициенты и свободные члены уравнений являются функциями t. Если все свободные члены системы (1) тождественно равны нулю, то система называется однородной. Каждой линейной системе соответствует однородная линейная система, получающаяся из нее отбрасыванием свободных членов. Таким образом, линейной системе (1) соответствует линейная однородная система