Отметим несколько непосредственно проверяемых свойств линейных систем. При их формулировке будет предполагаться, что все коэффициенты и свободные члены линейной системы определены и непрерывны на интервале
А) Если
также представляет собой решение однородной системы (2). Аналогичное утверждение справедливо также для трех и большего числа решений однородной системы (2).
Б) Если
представляет собой решение однородной системы (2). Далее, если
представляет собой решение линейной системы (1).
В) Допустим, что свободные члены системы линейных уравнений (1) представлены в виде сумм:
рассмотрим наряду с системой (1) две системы уравнений:
Если
представляет собой решение системы (1).
ГЛАВА II. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
§ 5. Линейное однородное уравнении с постоянными коэффициентами (случай простых корней)
В этом и следующем параграфах будет решено линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами порядка n, т. е. уравнение
где z есть неизвестная функция независимого переменного t, а коэффициенты
так что к нему применима теорема существования и единственности. В дальнейшем будет использована лишь единственность, так как решения уравнения (2) будут найдены явно и тем самым существование их будет установлено; единственность же будет использована для доказательства того, что найдены все решения.
В инженерных применениях обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами важную роль играет операционное исчисление. Мы используем здесь символические (или, иначе, операционные) обозначения, лежащие в основе операционного исчисления. Суть этих обозначений заключается в том, что производная по времени t, от произвольной функции
Пользуясь этим обозначением, мы можем написать
Если теперь в правой части последнего равенства позволить себе вынести за скобку функцию z, то мы получаем равенство
Таким образом, мы приходим к формальному определению.
А) Пусть
- произвольный многочлен относительно символа р с постоянными коэффициентами (действительными или комплексными) и z — некоторая действительная или комплексная функция действительного переменного t. Положим:
Если
В силу введенных обозначений уравнение (1) может быть записано в виде:
где
Б) Пусть
Докажем формулу (5). Мы имеем
Из этого следует, что
Из формулы (5) следует, что функция
Теорема 4. Предположим, что характеристический многочлен
(см. (1) и (4)) не имеет кратных корней, и обозначим его корни через
Положим:
Тогда при любых комплексных постоянных
является решением уравнения (6). Решение это является общим в том смысле, что каждое решение уравнении (6) может быть получено по формуле (8) при надлежащем выборе констант