Сделаем теперь некоторые выводы из метода исключения. Формулируем прежде всего результат, полученный в предложении А), для случая однородной системы уравнений
(6)Б) Если система функций
представляет собой решение системы (6), то каждая отдельная функция , входящая в это решение, удовлетворяет уравнениюгде D(p) — детерминант матрицы
системы (6).Покажем теперь, как, пользуясь методом исключения, следует решать, однородную систему уравнений (6).
Систему (6) перепишем в векторной форме
(7)где
- матрица системы (6), а .В) Допустим, что детерминант D(p) системы (6) не обращается тождественно в нуль, и пусть
— корень многочлена D(p), имеющий кратность k. Будем искать решение уравнения (8), имеющее вид: (8)г7де
— вектор, компоненты (9)которого являются многочленами степени k - 1 относительно t с неопределенными коэффициентами. Каждое решение вида (8) уравнения (7) мы будем называть соответствующим корню
.Подставляя предполагаемое решение (8) в уравнение (7), мы получим:
После сокращения на
это дает: (10)Таким образом, вектор (8) тогда и только тогда является решением уравнения (8), когда многочлены (9) удовлетворяют условию (10). Переписывая векторное уравнение (10) в координатной форме, получим n соотношений:
(11)Левая часть каждого соотношения (11) представляет собой многочлен степени k - 1 относительно t, коэффициенты которого являются линейными однородными функциями коэффициентов многочленов (9). Приравнивая нулю коэффициент при каждой степени t в каждом из соотношений (11), мы получим систему линейных однородных уравнений относительно коэффициентов многочленов (9). Эта система эквивалентна уравнению (10).
Таким образом, изложенный метод сводит задачу отыскания решений вида (8) к решению некоторой линейной однородной системы алгебраических уравнений. Из сказанного видно, что решения вида (8) определены на всем бесконечном интервале
.Вопрос о том, как отыскать все решения уравнения (7), решается нижеследующей теоремой:
Теорема 7. Допустим, что детерминант D(p) системы (6) не обращается тождественно в нуль, и пусть
- совокупность всех различных корней многочлена D(p). Тогда произвольное решение х уравнения (7), может быть записано в виде: (12)где
— некоторое решение уравнения (7), соответствующее корню (см. В)). Отсюда, в частности, следует, что каждое решение уравнения (7), определено для всех значений t.Доказательство. Допустим, что
- некоторое решение уравнения (7) определенное на интервале ; покажем, что на этом интервале оно может быть записано в виде (12). В силу предложения Б), каждая функция , на интервале удовлетворяет уравнениюи потом в силу предложения А) § 6 может быть записана на этом интервале в виде:
(13)Здесь
есть многочлен степени , где — кратность корня .Таким образом, каждое решение х уравнения (7) на интервале своего определения
записывается в виде: (14)где
— вектор, компоненты которого являются многочленами степени . Для доказательства теоремы 7 нам достаточно показать теперь, что каждое слагаемое в правой части равенства (14) есть решение уравнения (7). Для доказательства этого подставим решение (14) в уравнение (7). Мы получим:Так как числа
попарно различны, то из равенства (15) следует:или, иначе,
Но это и значит, что
есть решение уравнения (7).Итак, теорема 7 доказана.
Решим методом исключения систему уравнений
Перепишем ее в символической форме:
Детерминант системы, как легко видеть, равен
; он имеет двукратный корень . Согласно теореме 7 решение системы следует искать в виде:Подстановка этих функций в первое уравнение дает (после сокращения на
):a + c – ct – d = 0,
откуда
Те же соотношения для коэффициентов получаются и при подстановке во второе уравнение системы. Таким образом, общее решение рассматриваемой системы записывается в виде:
где a и b - произвольные постоянные.
§9. Нормальная линейная однородная система с постоянными коэффициентами
В этом параграфе решается система уравнений
(1)с постоянными коэффициентами. Эта система может быть решена методом исключения, здесь она решается путем приведения матрицы
к жордановой форме. В случае, когда все собственные значения матрицы А различны, возможность приведения ее к жордановой, т.е. в данном случае диагональной, форме представляет собой весьма элементарный алгебраический факт. В общем случае возможность приведения матрицы А к жордановой форме относиться к наиболее сложным результатам курса линейной алгебры.Обычно приведение матрицы А к жордановой форме для решения системы (1) используется путем линейного преобразования неизвестных функций
. Другой способ, по существу также опирающийся на приведение матрицы А к жордановой форме, изложен в этом параграфе.