Сделаем теперь некоторые выводы из метода исключения. Формулируем прежде всего результат, полученный в предложении А), для случая однородной системы уравнений
Б) Если система функций
где D(p) — детерминант матрицы
Покажем теперь, как, пользуясь методом исключения, следует решать, однородную систему уравнений (6).
Систему (6) перепишем в векторной форме
где
В) Допустим, что детерминант D(p) системы (6) не обращается тождественно в нуль, и пусть
г7де
которого являются многочленами степени k - 1 относительно t с неопределенными коэффициентами. Каждое решение вида (8) уравнения (7) мы будем называть соответствующим корню
Подставляя предполагаемое решение (8) в уравнение (7), мы получим:
После сокращения на
Таким образом, вектор (8) тогда и только тогда является решением уравнения (8), когда многочлены (9) удовлетворяют условию (10). Переписывая векторное уравнение (10) в координатной форме, получим n соотношений:
Левая часть каждого соотношения (11) представляет собой многочлен степени k - 1 относительно t, коэффициенты которого являются линейными однородными функциями коэффициентов многочленов (9). Приравнивая нулю коэффициент при каждой степени t в каждом из соотношений (11), мы получим систему линейных однородных уравнений относительно коэффициентов многочленов (9). Эта система эквивалентна уравнению (10).
Таким образом, изложенный метод сводит задачу отыскания решений вида (8) к решению некоторой линейной однородной системы алгебраических уравнений. Из сказанного видно, что решения вида (8) определены на всем бесконечном интервале
Вопрос о том, как отыскать все решения уравнения (7), решается нижеследующей теоремой:
Теорема 7. Допустим, что детерминант D(p) системы (6) не обращается тождественно в нуль, и пусть
где
Доказательство. Допустим, что
и потом в силу предложения А) § 6 может быть записана на этом интервале в виде:
Здесь
Таким образом, каждое решение х уравнения (7) на интервале своего определения
где
Так как числа
или, иначе,
Но это и значит, что
Итак, теорема 7 доказана.
Решим методом исключения систему уравнений
Перепишем ее в символической форме:
Детерминант системы, как легко видеть, равен
Подстановка этих функций в первое уравнение дает (после сокращения на
a + c – ct – d = 0,
откуда
Те же соотношения для коэффициентов получаются и при подстановке во второе уравнение системы. Таким образом, общее решение рассматриваемой системы записывается в виде:
где a и b - произвольные постоянные.
§9. Нормальная линейная однородная система с постоянными коэффициентами
В этом параграфе решается система уравнений
с постоянными коэффициентами. Эта система может быть решена методом исключения, здесь она решается путем приведения матрицы
Обычно приведение матрицы А к жордановой форме для решения системы (1) используется путем линейного преобразования неизвестных функций