Линейная модель множественной регрессии (стр. 1 из 2)
Задание 1
Линейная модель множественной регрессии ЛММР
Этап. Постановочный.
На постановочном этапе осуществляется определение конечных целей модели (прогноз, имитация, сценарий развития, управление) набор участвующих в ней факторов и показателей, их роль.
Пусть конечная цель модели - имитация поведения РТС индекса в зависимости цены акций.
Обозначим:
у - РТС индекс,
х1 - цена акции,
х2 - цена акции.
Этап. Априорный
На априорном этапе выполняется предметный анализ эконометрической сущности изучаемого явления, формирование и формализации априорной информации относящейся к природе исходных статистических данных и случайных составляющих.
Предмодельный анализ сущности изучаемого явления (используемой методики расчета РТС индекса), а также то, что обе акции входят в список, утвержденный для его расчета, позволяют сделать вывод о вероятности линейной зависимости поведения у от поведения х1 и х2.
Предположим, что х1 и х2 - неслучайные переменные, а у - случайная переменная.
Этап. Параметризация на этапе параметризация выполняется моделирование 3, т.е. выбор общей модели вида, состава, формы входящих в нее связей.
Анализ, проведенный на этапах 1,2 и сделанные предположения позволяют выбрать для наших целей модель вида:
В качестве рабочей гипотезы принимаем допущение о взаимности и гомоскедастичности регрессионных остатков l.
Этап. Информационный.
На информационном этапе выполняется сбор необходимой статистической информации, регистрация значений участвующих в модели факторов и показателей на различных временных и пространственных интервалах функционирования явления.
Наши данные приведены по итогам торгов в Российской торговой системе на 18.00 последовательно по датам торгов за октябрь 2003г. (данные с www.rbc.ru).
| № наблюдения | Дата | РТС индекс (посл) | Цена акции ЛукОйл (посл), USD | Цена акции НорНикель ГМК (посл), USD |
| 1 | 01.10 03 | 574,11 | 20,66 | 49,00 |
| 2 | 02.10 03 | 589,50 | 21,52 | 49,80 |
| 3 | 03.10.03 | 594,26 | 22,40 | 50,25 |
| 4 | 06.10.03 | 597,11 | 22,52 | 52,10 |
| 5 | 07.10.03 | 609,60 | 23,62 | 54,94 |
| 6 | 08.10.03 | 627,74 | 24,10 | 60,40 |
| 7 | 09.10.03 | 626,89 | 23,30 | 61,70 |
| 8 | 10.10.03 | 621,40 | 22,95 | 59,40 |
| 9 | 13.10.03 | 621,34 | 22,83 | 60,40 |
| 10 | 14.10 03 | 642,01 | 23,45 | 65,00 |
| 11 | 15.10.03 | 629,49 | 22,70 | 61,50 |
| 12 | 16.10.03 | 640,08 | 23,00 | 63,10 |
| 13 | 17.10.03 | 643,24 | 23,80 | 60,50 |
| 14 | 20.10.03 | 644,48 | 23,24 | 60,25 |
| 15 | 21.10 03 | 619,24 | 22,67 | 58,25 |
| 16 | 22.10 03 | 595,68 | 21,88 | 57,10 |
| 17 | 23.10.03 | 588,73 | 21,65 | 55,50 |
| 18 | 24.10 03 | 594,91 | 21,83 | 56,50 |
| 19 | 27.10.03 | 531,85 | 20,40 | 53,75 |
| 20 | 28.10.03 | 565,47 | 21,00 | 56,55 |
| 21 | 29.10.03 | 537,22 | 21, 20 | 55,95 |
| 22 | 30.10.03 | 512,37 | 19,25 | 53,00 |
| 23 | 31.10 03 | 508,94 | 20, 20 | 51,55 |
Визуальный анализ данных позволяет сделать вывод об изменении тенденции в рассматриваемом периоде. При графическом отображении значений РТС индекса данное изменение хорошо заметно:
Построим, оценим качество и сравним графически три варианта модели:
по всей выборке,
за период возрастания индекса (первые 14 наблюдений),
за период убывания индекса (последние 10)
А также сделаем вывод о справедливости следующего априорного утверждения: модели 2,3 описывают исходные данные лучше, чем модель 1.
Этап. Идентификация модели
На этапе идентификации выполняется статистический анализ модели и, прежде всего статистическое оценивание неизвестных параметров.
В нашем случае имеется пространственная выборка объема k=23 (14 - для периода возрастания, 10 убывания). Число объясняющих переменных n=2. Матрица Х модели будет составлена из 3 столбцов размерности 23 (14,10) каждый. При этом в качестве первого столбца используется вектор из одних единиц, столбцы 2 - 3 представляют собой столбцы х1 и х2.
Подставляя соответствующие значения в формулу рассчитаем МНК - оценки для параметров А.
по всей выборке
| 23 | 510,1700 | 1306,5000 | |
 | 510,1700 | 11344,4995 | 29032,7645 |
| 1306,5000 | 29064,5645 | 74660,5000 |
| Обратная | 16,9368 | -0,6252 | -0,0533 |
 | -0,8478 | 0,0549 | -0,0065 |
| 0,0336 | -0,0104 | 0,0035 |
| 13715,6600 | |
 | 305186,0672 |
| 781955,1640 |
| -152,2248 | |
| А = | 33,8819 |
| -0,0526 |
Y=-152,2248+33,8819*X1-0,0526*X2
за период возрастания индекса (первые 14 наблюдений)
| 14 | 320,0900 | 808,3500 | |
| | 320,0900 | 7329,1023 | 18527,9690 |
| 808,3500 | 18527,9690 | 47050,7575 |
| Обратная | 58,3597 | -3,1314 | 0,2305 |
| | -3,1314 | 0, 1983 | -0,0243 |
| 0,2305 | -0,0243 | 0,0056 |
| 8661,2500 | |
| | 198238,8637 |
| 501570,9840 |
| 295,8791 | |
| А= | 6,1272 |
| 3,1641 |
Y=295,8791+6,1272*X1+3,1641*X2
за период убывания индекса (последние 10)
| 10 | 213,3200 | 558,4000 | |
| | 213,3200 | 4563,2348 | 11936,8055 |
| 558,4000 | 11936,8055 | 31239,8050 |
| Обратная | 56,1080 | 1, 1991 | -1,4611 |
| | 1, 1991 | 0,4902 | -0, 2088 |
| -1,4611 | -0, 2088 | 0,1059 |
| 5698,8900 | |
| | 122039,6387 |
| 319214,1000 |
| -309,1111 | |
| А = | 24,5941 |
| 6,3460 |
Y=-309,1111+24,5941*X1+6,3460*X2
Согласно первому уравнению, при увеличении цены акции ЛукОйл на 1 дол., РТС индекс возрастает на 33,8819 пункта; при увеличении цены акции НорНикель ГМК на 1 дол. уменьшится на 0,0526 пункта.
Согласно второму уравнению, при увеличении цены акции ЛукОйл на 1 дол., РТС индекс возрастет на 6,1272 пункта; при увеличении цены акции НорНикель ГМК на 1дол. возрастает на 3,1641 пункта.
Согласно третьему уравнению, при увеличении цены акции ЛукОйл на 1 дол., РТС индекс возрастет на 24,5941 пункта; при увеличении цены акции НорНикель ГМК на 1 дол. возрастает на 6,3460 пункта.
Этап. Верификация модели
На этапе верификации модели выполняется сопоставление модельных и реальных данных. Проверка адекватности модели, оценка точности модельных данных.
Проблема верификации заключается в решении вопроса о том, можно ли рассчитывать, что использование построенной модели даст результаты достаточно совпадающие с реальностью.
Наиболее распространенный подход верификации эконометрической модели - это ретроспективные расчеты.
Все исходные статистические данные за n- периодов времени делятся на две части:
обучающая выборка размерности n- j
экзаменующая выборка j
По данным обучающей выборки строится модель
С помощью модели осуществляется прогноз на jследующих периодов
Сравниваются прогнозные значения с реальными из экзаменующей выборки. Проводится анализ, оценивается точность
Проверка общего качества уравнения регрессии
Первый показатель - стандартная ошибка оценки Y.
Второй показатель - коэффициент детерминации, он характеризует долю общей вариации результирующего признака объясненную поведением выборочной функции регрессии.
При росте числа регрессоров значение R2возрастает, однако качество описание исходных данных регрессионного уравнения может при этом не улучшиться, чтобы устранить этот подобный эффект проводят корректировку этого показателя на число регрессоров.
Проверка статистической значимости коэффициентов
Рассчитываются ошибки коэффициентов регрессии, для этого строятся ковариационные матрицы оценок. На главной диагонали матрицы стоят квадраты ошибок коэффициентов.
