Применение комплексных чисел в элементарной геометрии (стр. 1 из 4)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

------------------------------------------------------------------------------

Кафедра прикладной математики

Курсовая работа на тему:

«Применение комплексных чисел в элементарной геометрии»

Выполнила: студентка 2 курса

физико-математического

факультета специальности

«Прикладная математика и

информатика»

----------------------------------

Научный руководитель: старший

преподаватель

-----------------------------------------

---------------------------------, 2010

Оглавление

Введение 3

§ 1. Параллельный перенос 4

§ 2. Вращение 4

§ 3. Подобие и движение 5

§ 4. Принадлежность трех точек прямой 7

§ 5. Принадлежность четырех точек окружности 8

§ 6. Ортоцентр треугольника 9

§ 7. Окружность и прямая Эйлера 10

§ 8. Прямая Симсона треугольника 12

Заключение 18

Библиографический список 19

Введение

Большое значение комплексных чисел в математике и ее приложениях широко известно. Особенно часто применяются функции комплексного переменного. Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием.

Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачи и ее требованием. В этом состоит простота данного метода, по сравнению с другими методами, ведь готовое решение может быть очень коротким.

В данной работе рассматривается применение комплексных чисел в планиметрии: описание преобразований плоскости, вывод некоторых формул для решения задач и доказательство некоторых свойств.

Цель работы:

1. Описать параллельный перенос, вращение, движение первого и второго рода, подобие первого и второго рода с помощью операций над комплексными числами. Вывести условие принадлежности трех точек одной прямой и четырех точек одной окружности.

2. Доказать с помощью комплексных чисел свойства ортоцентра треугольника, существование окружности и прямой Эйлера.

3. Используя комплексные числа, доказать свойства прямой Симсона треугольника.

Работа состоит из введения, основной части, заключения и библиографического списка. Во введении кратко описывается значение выбранной темы, цель работы и структура работы. В основной части рассмотрены преобразования плоскости с помощью комплексных чисел, условия принадлежности точек прямой и окружности, свойства ортоцентра треугольника и прямой Симсона треугольника, а также доказательство существования окружности и прямой Эйлера и примеры решения задач с помощью комплексных чисел. В заключении представлены выводы о применении комплексных чисел в планиметрии.

Параллельный перенос

Любое комплексное число можно единственным образом отобразить на плоскости как точку

или радиус-вектор точки . Поэтому число называют точкой или вектором.

Зафиксируем два комплексных числа

и . Найдем их сумму , которая означает, что , т.е. что вектор совпадает с вектором (геометрический смысл сложения комплексных чисел). Поэтому данное равенство определяет параллельный перенос плоскости на вектор .

Вращение

Пусть даны точки

, где , а arg ; , где , . Произведение двух комплексных чисел производится следующим образом:

где

, а . Геометрически это обозначает, что точка , характеризующаяся модулем , является образом точки с модулем при композиции поворота с центром на угол =arg и гомотетии с центром и коэффициентом . Поскольку , точка будет также образом точки при композиции поворота с центром на угол , и гомотетии с центром и коэффициентом . Для построения точки удобно привлечь точку , которая равна единице. Имеем:

и ориентированные углы и равны ; следовательно, треугольники и подобны, что позволяет построить точку по точкам .

Таким образом умножение комплексных чисел определяет центрально-подобное вращение плоскости, составляющееся из вращения вокруг т. O на угол

в положительном направлении (в направлении против часовой стрелки) и центрально-подобного преобразования с коэффициентом подобия t. Если модуль комплексного числа t=1, то данное преобразование представляет собой вращение на угол .

Любое движение плоскости можно представить или как вращение вокруг фиксированной точки O, сопровождаемое параллельным переносом, или как симметрию относительно фиксированной прямой o, сопровождаемую вращением вокруг выбранной точки O и параллельным переносом. Таким образом каждое движение плоскости можно представить в виде:

или

Подобие и движение

Преобразованием подобия (или подобием) называется преобразование, при котором каждые две точки

отображены в такие две точки , что , где - постоянное действительное положительное число, называемое коэффициентом подобия. В частности, при расстояния равны, т. е. подобие является движением. Гомотетия с коэффициентом является подобием с коэффициентом