Интегралы Дифференциальные уравнения (стр. 3 из 6)

1. Для любой точки

множества найдется решение уравнения (1), удовлетворяющее условию .

2. Если два решения

и уравнения (1) совпадают хотя бы для одного значения , то эти решения совпадают для всех тех значений переменной , для которых они определены.

Дифференциальное уравнение (1) первого порядка называется неполным, если функция

явно зависит либо только от , либо только от .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

или в виде

,

где

, , – некоторые функции переменной ; – функции переменной .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

,

где

и – некоторые (непрерывные) функции переменной .

В случае, когда функция

тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

, (2)

где

– некоторые действительные числа, – некоторая функция.

Если

, то уравнение

(3)

называется однородным, в противном случае при

уравнение (2) называется неоднородным.

Теорема. Если

и – линейно независимые частные решения уравнения (3), то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, то есть имеет вид

,

Для некоторых действительных чисел

и .

Уравнение

(4)

называется характеристическим уравнением уравнения (3).

Теорема.

1. Пусть характеристическое уравнение (4) имеет действительные корни

, причем . Тогда общее решение уравнения (3) имеет вид

,

где

и – некоторые числа.

2. Если характеристическое уравнение (4) имеет один корень

(кратности 2), то общее уравнения (3) имеет вид

,

где

и – некоторые числа.

3. Если характеристическое уравнение (4) не имеет действительных корней, то общее решение уравнения (3) имеет вид

,

где

, , и – некоторые числа.

Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (2) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (3) и частного решения исходного неоднородного уравнения (2).

Числовым рядом называется выражение вида

(1)

Числа

называются членами ряда, а член - общим членом ряда.

Сумма

первых членов ряда называется – й частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, то есть

Число

называется суммой ряда.

Свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд (1) сходится и имеет сумму

, то и ряд полученный умножением данного ряда на число также сходится и имеет сумму .

2. Если ряды

и

(2)

сходятся и их суммы соответственно равны

и , то и ряд представляющий сумму данных рядов также сходится, и его сумма равна .

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания или приписывания конечного числа членов.

Теорема (необходимый признак сходимости) Если ряд сходится, то предел его общего члена стремится к нулю, то есть

.

Теорема (признак сравнения). Пусть (1) и (2) – ряды с положительными членами, причем члены первого ряда не превосходят членов второго, то есть при любом

.

Тогда а) если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1)

б) если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Теорема (предельный признак сравнения). Пусть (1) и (2) – ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов

, то ряды одновременно сходятся, либо расходятся.

Теорема (признак Даламбера). Пусть дан ряд (1) с положительными членами и существует предел

.

Тогда, если

, то ряд сходится; если , то ряд расходится; если , то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.