Интегралы Дифференциальные уравнения (стр. 4 из 6)

Ряды с членами произвольного знака

Знакочередующиеся ряды. Под знакочередующимся рядом понимается ряд в котором члены попеременно то положительны то отрицательны

Теорема. (Признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел его общего члена при

равен нулю, ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена.

Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (1) сходится, то сходится и данный ряд.

Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Степенным рядом называется ряд вида

(3)

Совокупность тех значений

, при которых степенной ряд (3) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. 1). Если степенной ряд сходится при значении

(отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях

таких, что

. 2). Если степенной ряд расходится при

, то он расходится при всех значениях

таких, что

Тогда областью сходимости степенного ряда будет интервал

На любом отрезке

, целиком принадлежащем интервалу сходимости

, функция

является непрерывной, а следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке.

Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать. При этом после интегрирования или дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости

Имеют место следующие разложения элементарных функций.

Случайные события

Основные вопросы лекции: случайные события; случайные величины, описательный подход к понятию случайной величины, дискретные случайные величины, случайные величины общего вида, функция распределения, распределение случайных величиныи числовые характеристики.

Числовые характеристики случайных величин

Рассмотрим основные характеристики дискретной случайной величины при конечном числе значений.

Каждому значению дискретной случайной величины отвечает его вероятность. Как отмечалось выше, последовательность таких пар образует ряд распределения дискретной случайной величины:

где

, i= 1,…, n,

Если случайная дискретная величина является случайной альтернативной величиной, т.е. задается двумя значениями 0 и 1 и соответствующими им вероятностями исходов q = 1 – ри р, то ряд распределения принимает форму:

где 0 ≤ p ≤ 1, p + q = 1.

На основе ряда распределения можно определить среднее значение случайной дискретной величины как меру, которая объединяет значения случайной дискретной величины и их вероятности. Среднее значение есть взвешенная средняя всех возможных значений случайной величины, роль весов (частот) играют вероятности.

Ожидаемое среднее значение случайной величины называется математическим ожиданием М(Х) (оценкой, которую ожидают получить).

Математическое ожидание случайной дискретной величины X (т.е. принимающей только конечное или счетное множество значений x1, x2,…, хп соответственно с вероятностями р1, p2,…, рп) равно сумме произведений значений случайной величины на соответствующие им вероятности:

. (1)

Свойства математического ожидания случайной дискретной величины

Математическое ожидание случайной дискретной величины обладает следующими свойствами:

1. M(C) = С,

где С – постоянная величина.

2. М (С·Х) = С·М(Х),

где С – постоянная величина.

3. М (Х1 ± Х2 ±…± Хn) = М(Х1) ± М(Х2) ±…± М(Хn). (2)

4. Для конечного числа пнезависимых случайных величин:

М (Х1∙ Х2∙…∙Хn)= М(Х1) ∙М(Х2) ∙…∙М(Хn). (3)

5. М (Х–C) = М(Х) – C.

Следствие. Математическое ожидание отклонения значений случайной величины X от ее математического ожидания равно нулю:

М [Х – М(Х)] = 0. (4)

6. Математическое ожидание среднего арифметического значения п одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию каждой из величин:

. (5)

Случайные дискретные величины называются одинаково распределенными, если у них одинаковые ряды распределения, а следовательно, и одинаковые числовые характеристики.

Пусть Х1, Х2,…, Хn – одинаково распределенные случайные величины, математические ожидания каждой из которых одинаковы и равны а. Тогда математическое ожидание их суммы равно nаи математическое ожидание средней арифметической равно а:

Ожидаемое среднее значение функции случайной величиныожидаемое среднее значение можно вычислять как функцию случайной величины. Пусть h(X) – функция случайной величины X. Ожидаемое значение функции дискретной случайной величины:

(6)

Функция h(X) может быть любой, например X 2,3Х 4, logX. Разберем простой пример, когда h(X) – линейная функция от X, т.е. h(X)= аХ+ b, где а, b – числовые параметры.

Ожидаемый ежемесячный доход от продаж продукции составляет 5400 условных денежных единиц. Для линейной функции случайной величины вычисления M[(h(x)] можно упростить, так как из свойств математического ожидания следует, что

M (аХ+ b) = аM(Х) + b,

где a, b – числовые параметры.

Формула (5) подходит для любых случайных величин как дискретных, так и непрерывных.

Дисперсия дискретной случайной величины

Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания.

σ2 = D(X) = M{[X – M(X)] 2} =

[xi – M(X)] 2P(xi). (7)

Вероятности значений случайной величины играют роль весов (частот) при вычислении ожидаемых значений квадратов отклонений дискретной случайной величины от средней. По формуле (7) дисперсия вычисляется путем вычитания математического ожидания из каждого значения случайной величины, затем возведения в квадрат результатов, умножения их на вероятности Р(хi) и сложения результатов для всех хi.

Для примера 3.1 (о рекламных объявлениях, размещаемых в газете в определенный день) дисперсия вычисляется так:

σ2 =

[xi–M(X)] 2P(xi) = (0–2,3) 2 + (1–2,3) 2 + (2–2,3) 2 + (3–2,3) 2+ (4–2,3) 2 + (5 – 2,3) 2 = 2,01.

Свойства дисперсии дискретной случайной величины

Дисперсия дискретной случайной величины обладает следующими свойствами.

1. D(C) = 0,

где C – постоянная величина.

2. D(C∙X)= C∙D(X),

где C – постоянный множитель.

3. Для конечного числа nнезависимых случайных величин:

D (X1 ± Х2±…±Xn) = D(X1) + D(X2)+ … +D(Xn). (8)

4. Если Х1, Х2,…, Хn – одинаково распределенные независимые случайные величины, дисперсия каждой из которых равна σ2 (Хi), то дисперсия их суммы равна пσ2, а дисперсия средней арифметической равна σ2/п:

σ2/п. (9)

Для вычисления дисперсии проще пользоваться другой формулой, полученной путем несложных математических выкладок:

D(X) = M[X – M(X)] 2 =M[X2 – 2M(X) X+ M(X) 2] =

M(X) 2 –2M(X) M(X) + [M(X)] 2 = M(X2) – [M(X)] 2 = M (X 2) – М 2 (Х).

Таким образом, σ2 = D(X) = M(X2) – М2 (Х). (10)

Дисперсия линейной функции случайной величины

Для случайной величины, заданной линейной функцией аХ+b, имеем

D(a∙X+ b)= a2∙D(X)=a2∙σ2. (11)