Интегралы Дифференциальные уравнения (стр. 5 из 6)
По формуле (11) найдем дисперсию ожидаемого дохода для примера 3. Доход задан функцией 2Х-8000. Находим M(X2)=50002∙0,2 + 60002∙0,3 + 70002∙0,2 + 80002∙0,2 + 90002∙0,1 =4 650 000. М(Х)=6700. Отсюда дисперсия D(X)=M(X2) – [М(Х)] 2=46 500 000 – 67002=1 610 000. Используя формулу (11), вычислим дисперсию ожидаемого дохода: D(Х) = σ2 = 22∙1 610 000 = 6 440 000. Среднее квадратическое отклонение дохода равно
Испытания Бернулли – это последовательность n идентичных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:
1. Каждое испытание имеет два исхода: успех и неуспех – взаимно несовместные и противоположные события.
2 Вероятность успеха р остается постоянной от испытания к испытанию. Вероятность неуспеха q = 1-р.
3. Все n испытаний – независимы. Вероятность наступления события в любом из испытаний не зависит от результатов других испытаний.
Успех и неуспех – статистические термины. Например, когда имеют дело с производственным процессом, то исход испытания «деталь дефектная» определяют как успех. Успех относится к появлению определенного события – «деталь дефектная», а неуспех относится к непоявлению события. Определим случайную величину как биномиальную, если для нее мы рассчитываем число успехов и неуспехов в последовательности n испытаний Бернулли.
Случайная величина, для которой вычисляется число успехов в n повторных испытаниях, где р – вероятность успеха в любом из заданных испытаний, a q = (1-р) – соответствующая вероятность неуспеха, подчиняется закону биномиального распределения с параметрами n и р.
Все возможные исходы данного эксперимента называются элементарными событиями, а множества составленные из них – событиями. Таким образом можно разбить все множество исходов на благоприятствующие данному событию (то есть входящие в него) и не благоприятствующие. Множество всех исходов обозначают
, а события – заглавными латинскими буквами.Классическое определение вероятности. Вероятностью события
называется отношение числа всех исходов на число благоприятствующих событию исходов и обозначают 
, то есть 
,где
– число всех исходов эксперимента, 
-число благоприятствующих событию исходов. Это так называемая классическая схема.Пусть некоторый эксперимент повторяется
раз.Схема Бернулли имеет место при соблюдении трех условий.
1. Каждое повторение имеет два исхода.
2. Повторения независимы.
3. Вероятность появления события постоянна и не меняется при повторениях.
Тогда вероятность появления события
раз при испытаниях можно найти по формуле 
,где
– число сочетаний из элементов по , 
.Если события
такие, что1. попарно не пересекаются, то есть
.при 
2.
,то говорят что они образуют полную группу событий.
Теорема (формула полной вероятности). Если
– полная группа событий и 
, то 
.Теорема (формула Байеса) Если
– полная группа событий и , то 
, 
Случайной величиной называют любую числовую функцию заданную на множестве
. Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.Дискретной случайной величиной называется случайная величина принимающая не более чем счетное число значений. Дискретную случайную величину удобно задавать в виде таблицы
 |  |  |  |  |
 |  |  | |  |
где
– вероятность того, что случайная величина примет значение 
при 
.Математическим ожиданием
дискретной случайной величины называется число = 
.Свойства математического ожидания
1.
2.
3.
.Дисперсией
дискретной случайной величины называется число 
Свойства дисперсии
1.
2.
3.
.Среднеквадратическим отклонением
называется число 
.Функцией распределения случайной величины называют функцию
.Свойства функции распределения
1.
.2. Функция
непрерывна слева.3. Функция
монотонно возрастает.Случайная величина называется непрерывной, если непрерывна ее функция распределения. Плотностью распределения
случайной величины называют функцию, удовлетворяющую следующим условиям1.
2.
3.
Для непрерывных случайных величин математическое ожидание определяется как число
. Для дисперсии формула остается прежней.На практике чаще всего встречаются следующие виды распределений
1.Биномиальное, где случайная величина принимает значения
с вероятностями 
.