Линейная парная регрессия (стр. 4 из 4)

По статистическим таблицам F-распределения F_0,05;1;26 = 4,22. Так как
F > F_0,05;1;26, то уравнение регрессии значимо.

2-й способ. Учитывая, что b₁ = 0,739,

= 11170,43
(табл. 4), = =23,37 (табл. 4), по формуле (26)

t =

= 16,17.

По таблице t-распределения t_0,95;26 = 2,06. Так как t > t_0,95;26, то коэффициент регрессии b₁, а значит, и уравнение парной линейной регрессии значимо.

Найдем коэффициент детерминации и поясним его смысл. Ранее было получено Q_R = 6108,09, Q = 6715,71. По формуле (28)

= 0,9095 (или R² = r² = 0,954² = 0,9095). Это означает, что изменения зависимой переменной у – дневная выработка – на 90% объясняется вариацией объясняющей переменной х – уровнем механизации.

Найдем 95%-ные доверительные интервалы для индивидуального значения прибыли при уровне механизации равной 65%.

Ранее было получено уравнение регрессии

= -19,37 + 0,74x.

Чтобы построить доверительный интервал для индивидуального значения

, найдем точечное значение признака = -19,37 + 0,74∙65 = 28,718.

Затем найдем дисперсию оценки:

=23,370 = 0,839

и

= 0,916.

Далее искомый доверительный интервал получим по (29):

28,718 – 2,06∙0,916 £

£ 28,718 + 2,06∙0,916

26,832 £

£ 30,604

Таким образом, дневная выработка при уровне механизации равной 65% с надежностью 0,95 находится в пределах от 26,832 ед. до
30,604 ед.

Найдем 95%-ный доверительный интервал для параметра b₁.

По формуле (30)

0,74 – 2,06

£b₁£ 0,74 + 2,06 ,

0,645 £b₁£ 0,834,

т.е. с надежностью 0,95 при изменении уровня механизации x на 1% дневная выработка y будет изменяться на величину, заключенную в интервале от 0,645 до 0,834 (ед.).

Исследуем полученную модель на наличие гетероскедастичности.

Тест Голфреда-Квандта.

Упорядочим п наблюдений по мере возрастания переменной х. Исключим из рассмотрения С = 6 центральных наблюдений (условие
(п-С)/2 = (28 – 6)/2 = 11 > р = 1 выполняется). Разделим совокупность из (п-С) = (28 – 6) = 22 наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора х по 11 наблюдений) и определим по каждой из групп уравнения регрессии. Для первой группы оно составит

= -3,70 + 0,39x. Для второй группы: = 1,16 + 53,11x. Определим остаточные суммы квадратов для первой (S₁) и второй (S₂) групп. Промежуточные расчеты занесем в табл. 5.

N	X	Y	Yрег = -3,70 + 0,39Х	e=Y-Yрег	e^2
1	15	5	2,15	2,85	8,1225
2	24	6	5,66	0,34	0,1156
3	42	6	12,68	-6,68	44,6224
4	46	9	14,24	-5,24	27,4576
5	48	15	15,02	-0,02	0,0004
6	48	14	15,02	-1,02	1,0404
7	50	17	15,8	1,2	1,44
8	52	17	16,58	0,42	0,1764
9	53	22	16,97	5,03	25,3009
10	54	21	17,36	3,64	13,2496
S1	121,5258
N	X	Y	Yрег = -53,11 + 1,16Х	e=Y-Yрег	e^2
17	66	25	23,45	1,55	2,4025
18	70	27	28,09	-1,09	1,1881
19	72	31	30,41	0,59	0,3481
20	75	33	33,89	-0,89	0,7921
21	76	33	35,05	-2,05	4,2025
22	80	42	39,69	2,31	5,3361
23	82	41	42,01	-1,01	1,0201
24	87	44	47,81	-3,81	14,5161
25	90	53	51,29	1,71	2,9241
26	93	55	54,77	0,23	0,0529
27	95	57	57,09	-0,09	0,0081
28	99	62	61,73	0,27	0,0729
S2	32,8636

Тест ранговой корреляции Спирмэна

Проранжируем значения х_i и абсолютные величины остатков в порядке возрастания, расчеты занесем в табл. 6.

Найдем коэффициент ранговой корреляции Спирмэна:

= 0,108.

Таблица 6

N	X	Ei	Расчет ранговой корреляции
			Ранг Х	Ранг |Ei|	d	d^2
1	15	13,27	1	28	-27	729
2	24	7,61	2	26	-24	576
3	42	-5,71	3	23	-20	400
4	46	-5,67	4	22	-18	324
5	48	-1,15	5	6	-1	1
6	48	-2,15	6	9	-3	9
7	50	-0,63	7	3	4	16
8	52	-2,11	8	8	0	0
9	53	2,15	9	10	-1	1
10	54	0,41	10	2	8	64
11	55	0,67	11	4	7	49
12	60	-2,03	12	7	5	25
13	61	-2,77	13	13	0	0
14	62	-2,51	14	12	2	4
15	63	-3,25	15	17	-2	4
16	64	-2,99	16	15	1	1
17	66	-4,47	17	19	-2	4
18	70	-5,43	18	20	-2	4
19	72	-2,91	19	14	5	25
20	75	-3,13	20	16	4	16
21	76	-3,87	21	18	3	9
22	80	2,17	22	11	11	121
23	82	-0,31	23	1	22	484
24	87	-1,01	24	5	19	361
25	90	5,77	25	24	1	1
26	93	5,55	26	21	5	25
27	95	6,07	27	25	2	4
28	99	8,11	28	27	1	1
Сумма	0,00	3258

Найдем t-критерий для ранговой корреляции:

= 0,556.

Сравним полученное значение t_r с табличным значением
t_{0,95; 26} = 2,06. Так как t_r < t_{0,95; 26}, то на уровне значимости 5% принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности.

Использование теста Уайта рассмотрим во второй части методических указаний.

Тест Парка Тест предполагает, что дисперсия остатков связана со значениями факторов функций ln e² = а + blnх + и. Проверяется значимость коэффициента регрессии b по t-критерию Стьюдента. Если коэффициент регрессии для уравнения lne² окажется статистически значимым, то, следовательно, существует зависимость lne² от lnх, т.е. имеет место гетероскедастичность остатков.

Чтобы построить зависимость ln e² = а + blnх введем замены:
ln e² = у, lnх = z. Построим линейную регрессию у = а + bz. Для этого воспользуемся пакетом анализа MicrosoftExcel (Сервис + Анализ данных + + Регрессия). В результате получим следующую модель:

ln e² = 5,635 - 0,901 lnх.

Проверка уравнения на значимость показывает: R² = 0,039; F = 1,056; t_a = 1,565 и t_b = 1,028. По тесту Парка зависимость дисперсии остатков от х проявляется ненадежно: все параметры статистически нее значимы, R² очень низкий, t-критерий и F-статистика меньше табличных значений (t_0,95;26 = 2,06; F_0,05;1;26 = 4,23). Тест Парка показал отсутствие гетероскедастичности.

Тест Гейзера

Тест оценивает зависимость абсолютных значений остатков от значений фактора х в виде функции: |e| = a + b ∙ x^c, где с задается определенным числом степени. Для нашего примера используем значения с равные -2;-1; -0,5; 0,5; 1;2.

Для построения моделей регрессий воспользуемся пакетом анализа Microsoft Excel. Получили следующие результаты:

при с = -2 |e| = 2,62 + 2327,52x^-2R² = 0,460; F = 22,14

^{(5,61) (4,71)}

при с = -1 |e| = 0,87 + 153,09x^-1R² = 0,360; F = 14,61

^{(1,01) (3,82)}

при с = -0,5 |e| = -2,40 + 46,10x^-0,5R² = 0,271; F = 9,65

^{(1,19) (3,11)}

при с = 0,5 |e| = 8,58 - 0,62x^0,5R² = 0,090; F = 2,56

^{(2,76) (1,60)}

при с = 1 |e| = 5,39 - 0,03xR² = 0,035; F = 0,945

^{(2,97) (0,97)}

Из теста Гейзера следует, что абсолютная величина остатков достаточно сильно зависит от х^-2.