Квадратичные формы 3 (стр. 4 из 8)

Число положительных квадратов в той нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма

, называется положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных квадратов- отрицательным индексом инерции, а разность между положительным и отрицательным индексами инерции- сигнатурой формы .

Теорема. Две квадратичные формы от

неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными действительными линейными преобразованиями, если эти формы имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.

Доказательство. Пусть форма

переводится в форму невырожденным действительным преобразованием. Уже известно что преобразование не меняет ранга формы. Оно и не может менять сигнатуры, так как противном случае и приводились бы к различным нормальным видам, а тогда и форма приводилась бы, в противоречие с законом инерции, к этим обоим нормальным видам. Обратно, если формы и имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры, то они приводятся к одному и тому же нормальному виду и поэтому могут быть переведены друг в друга.

Если дана квадратичная форма

в каноническом виде,

, (3.9)

с неравными нулю действительными коэффициентами, то ранг этой формы равен

. Если приводить такую форму к нормальному виду, то можно увидеть, что положительный индекс инерции формы равен числу положительных коэффициентов в правой части равенства (3.9). Отсюда и вытекает такой результат:

Квадратичная форма

тогда и только тогда будет иметь форму (3.9) своим каноническим видом, если ранг формы равен , а положительный индекс инерции этой формы совпадает с числом положительных коэффициентов в (3.9).

Не всякая квадратичная форма может быть представлена в виде произведения двух линейных форм, и для этого необходимо ввести условие, при которых это имеет место, то есть при которых квадратичная форма является распадающейся.

Комплексная квадратичная форма

распадается тогда и только тогда, если ее ранг меньше или равен двум. Действительная квадратичная форма распадается тогда и только тогда, если ее ранг не больше единицы, или же он равен нулю, а сигнатура равна нулю.

Для начала необходимо рассмотреть произведение линейных форм

и . Если хотя бы одна из этих форм нулевая, то их произведение будет квадратичной формой с нулевыми коэффициентами, то есть оно имеет ранг 0. Если линейные формы и пропорциональны, , причем и форма ненулевая, то пусть, например, коэффициент . Тогда невырожденное линейное преобразование при приводит квадратичную форму к виду .

Справа стоит квадратичная форма ранга 1, а поэтому и квадратичная форма

имеют ранг 1. Если же, линейные формы и не являются пропорциональными, то пусть, например, .

Тогда линейное преобразование

,

,

при

будет невырожденным; оно приводит квадратичную форму

к виду . Справа стоит квадратичная форма ранга 2, имеющая в случае действительных коэффициентов сигнатуру 0.

Необходимо перейти к доказательству обратного утверждения. Квадратичная форма ранга 0 может, конечно, рассматриваться как произведение двух линейных форм, одна из которых нулевая. Далее, квадратичная форма

ранга 1 невырожденная линейным преобразованием приводится к виду , то есть к виду . Выражая линейно через , получится представление формы в виде произведения двух линейных форм. Тогда действительная квадратичная форма ранга 2 и сигнатуры 0 приводится невырожденным линейным преобразованием к виду ; к этому же виду может быть приведена любая комплексная квадратичная форма ранга 2. Однако , но справа, после замены и их линейными выражениями через , будет стоять произведение двух линейных форм. Теорема доказана.

1.4 ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФОРМЫ

Квадратичная форма

и неизвестных с действительными коэффициентами называется положительно определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из положительных квадратов, то есть если и ранг, и положительный индекс инерции этой формы равны числу неизвестных[7].

Теорема. Квадратичная форма

от неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда будет положительно определенной, если при всяких действительных значениях этих неизвестных, хотя бы одно из которых отлично от нуля, эта форма получает положительные значения.

Доказательство. Пусть форма

положительно определенная, то есть приводится к нормальному виду