Квадратичные формы 3 (стр. 5 из 8)

, (4.1)

причем

, (4.2)

с отличным от нуля определителем из действительных коэффициентов

. Если подставить в произвольные действительные значения неизвестных , хотя бы одно из которых отлично от нуля, то можно подставить их сначала в (4.2), а затем значения полученные, для всех , - в (4.1). Значения, полученные для из (4.2), не могут все сразу равняться нулю, так как иначе получилось бы, что система линейных однородных уравнений обладает ненулевым решением, хотя ее определитель отличен от нуля. Подставляя найденные для значения в (4.1), получатся значения, получатся значения формы , равное сумме квадратов действительных чисел, которые не все равны нулю; это значение будет строго положительным.

Обратно, пусть форма

не является положительно определенной, то есть или ранг, или положительный индекс инерции меньше . Это означает, что в нормальном виде этой формы, к которому она приводится, невырожденным линейным преобразованием (4.2), квадрат хотя бы одного из новых неизвестных, например , или отсутствует совсем, или же содержится со знаком минус. В этом случае можно подобрать такие действительные значения для неизвестных , которые не все равны нулю, что значения формы при этих значениях неизвестных равно нулю или даже отрицательно.

Пусть дана квадратичная форма

от неизвестных с матрицей . Миноры порядка этой матрицы, расположенные в ее левом углу, то есть миноры , из которых последний совпадает с определителем матрицы , называются главными минорами формы .

Теорема. Квадратичная форма

от неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда будет положительно определенной, если все главные миноры строго положительны.

Доказательство. При

теорема верна, так как форма имеет в этом случае вид и поэтому она положительно определенная тогда и только тогда, когда . Поэтому необходимо доказывать теорему для случая неизвестных, предполагая, что для квадратичных форм от неизвестных она уже доказана.

После преобразования получается квадратичная форма с матрицей

, однако, ввиду , , то есть определитель умножается на положительное число.

Пусть дана квадратичная форма

. Ее можно записать в виде

(4.3)

где

будет квадратичной формой от неизвестных, составленной из тех членов формы , в которые не входит неизвестное . Главные миноры формы совпадают, очевидно, со всеми, кроме последнего, главными минорами формы .

Пусть форма

положительно определенная. Форма также будет положительно определенной: если бы существовали такие значения неизвестных , не все равны нулю, при которых форма получает не строго положительное значение, то полагая дополнительно , то получилось бы (4.3), также не строго положительное значение формы , хотя не все значения неизвестных , равны нулю. Поэтому, по индуктивному предложению, все главные миноры формы , кроме последнего, строго положительны. Что же касается последнего главного минора формы , то есть определителя самой матрицы , то его положительность вытекает из следующих соображений: форма , которая положительно определенная с линейным невырожденным преобразованием приводится к нормальному виду, состоящей из положительных квадратов. Определитель этого нормального вида строго положителен.

Пусть строго положительны главные миноры формы

. Отсюда вытекает положительность всех главных миноров , то есть, по индуктивному, предположению, положительная определенность этой формы. Следовательно, существует, такое невырожденное линейное преобразование неизвестных , которое приводит форму к виду суммы положительных квадратов от новых неизвестных , то линейное преобразование можно дополнить до невырожденного линейного преобразования всех неизвестных , полагая . Ввиду (4.3) форма приводится к указанным преобразованием к виду:

; (4.4)

точные выражения коэффициентов

несущественны. Так как , то невырожденное линейное преобразование приводит форму к каноническому виду

. (4.5)

Для доказательства положительной определенности формы

необходимо доказать положительность числа . Определитель формы, стоящий в правой части равенства (4.5), равен . Этот определитель должен быть положительным, так как правая часть равенства (4.5) получена из формы двумя невырожденными линейными преобразованиями, а определитель формы был последний из главных миноров этой формы, положительным. Теорема доказана [3] .