Квадратичные формы 3 (стр. 7 из 8)

Составим характеристическое уравнение:

Итого:

- каноническое уравнение гиперболы.

Задача № 14. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

.

Решение. Коэффициенты:

.

Составим характеристическое уравнение:

;

.

Итого:

- каноническое уравнение гиперболы.

Задача № 15. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график

.

Решение. Составим характеристическое уравнение квадратичной формы. Коэффициенты

.

Найдем координаты собственных векторов:

,пологая что , тогда ;

,пологая что , тогда .

Собственные векторы:

.

Находим координаты единичных векторов нового базиса

.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

.

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

.

Задание № 16. Является ли квадратичная форма положительно определенной

[4]?

Решение.

.

. Квадратичная форма является положительно определенной, так как все ее главные миноры положительны.

Задание № 17. Является ли квадратичная форма положительно определенной

?

Решение.

.

. Квадратичная форма не является положительно определенной, так как ее главный минор отрицателен.

Задание № 18. Является ли квадратичная форма положительно определенной

[4]?

Решение.

.

. Квадратичная форма является не положительно определенной, так как не все ее главные миноры положительны.

2.2 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача № 1. Написать матрицу квадратичной формы:

.

Задача № 2. Привести к каноническому виду квадратичную форму:

.

Задача № 3. Привести к каноническому виду квадратичную форму:

.

Задача № 4. Привести к каноническому виду квадратичную форму:

.

. Задача № 5. Привести к каноническому виду квадратичную форму:

.

Задача № 6. Привести к каноническому виду квадратичную форму:

.

Задача № 7. Привести к каноническому виду квадратичную форму:

.

Задача № 8. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка:

.

Задача № 9. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка:

.

Задача № 10. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка

.

Задача № 11. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка:

.

Задача № 12. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка:

.

Задача № 13. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка:

.

Задача № 14. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка:

.

Задача № 15. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка:

Задача № 16. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка:

.

Задача № 17. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график:

.

Задача № 18. Является ли квадратичная форма положительно определенной

?

Задача № 19. Является ли квадратичная форма положительно определенной

?

Задача № 20. Является ли квадратичная форма положительно определенной

?

2.3 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Кем была впервые развита теория квадратичных форм: а) Лагранжем; б) Гауссом; в) Крамером.

2. Сумма, каждый член которой являлся или квадратом одного из неизвестных

, или произведение двух разных неизвестных, является: а) квадратичной формой; б) рангом квадратичной формы ; в) минором квадратичной формы .

3. Как называется число

квадратичной формы линейного преобразования , соответствующим вектору : а) собственным вектором; б) нулевым вектором; в) характеристическим числом.

4. Как называется матрица, если ее ранг равен числу неизвестных, то есть

: а) вырожденная; б) невырожденная; в) симметрическая.

5. Матрица

квадратичной формы называется симметрической, если ее элементы симметричны относительно: а) главной диагонали и равны; б) любой строки и равны; в) любого столбца и равны.

6. Как может быть записана квадратичная форма

, имеющая матрицу : а) ; б) ; в) .