Квадратичные формы 3 (стр. 8 из 8)

7. Как может быть представлена любая квадратичная форма некоторым невырожденным линейным преобразованием: а) в симметрическом виде; б) в диагональном виде; в) в каноническом виде.

8. Если при нахождения собственных значений квадратичной формы, числа

и одного знака, то к какому типу принадлежит квадратичная форма: а) эллиптическому; б) гиперболическому; в) параболическому.

9. Когда две комплексные квадратичные формы от

неизвестных могут быть переведены друг в друга невырожденным линейным преобразованием с комплексными коэффициентами: а) только тогда, когда эти формы имеют один и тот же ранг; б) только тогда, когда они имеют разные ранги; в) только тогда, когда они имеют одинаковые миноры.

10. Приведение каких квадратов в нормальном виде, данная квадратичная форма с действительными коэффициентами невырожденным преобразованием, не зависят от выбора преобразования: а) положительных; б) отрицательных; в) положительных и отрицательных.

11. Две квадратичные формы от

неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными линейными преобразованиями, если эти формы имеют одинаковые: а) ранги и сигнатуры; б) миноры; в) определители матриц.

12. Если квадратичная форма

от неизвестных приводится к нормальному виду, состоящему из положительных квадратов, то она называется: а) положительно неопределенная; б) отрицательно определенная; в) положительно определенная; г) отрицательно неопределенная.

13. Когда квадратичная форма

от неизвестных с действительными коэффициентами будет положительно определенной, когда: а) все главные миноры строго положительны; б) все ранги строго положительны; в) все сигнатуры строго положительны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В выполненной работе рассмотрены математические постановки для изучения материала: приведение квадратичной формы к каноническому виду, законы инерции, положительно определенные формы.

Для того чтобы использовать квадратичные формы на практике, в начале необходимо привести ее к каноническому виду. Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду. Любую действительную квадратичную форму можно привести невырожденным линейным преобразованием с действительными коэффициентами к нормальному виду. Если две квадратичные формы с действительными коэффициентами имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры, то эти формы могут быть переведены друг в друга невырожденными действительными линейными преобразованиями. Квадратичная форма с действительными коэффициентами будет положительно определенной, если все главные миноры строго положительны, или если при всяких действительных значениях неизвестных, хотя бы одно из которых отлично от нуля.

В процессе выполнения работы была рассмотрена не только теоретическая часть, но и практическая, в которой решены задачи по данным подтемам, а также в работу включены задачи для самостоятельного решения и тестовые задания по изученному материалу.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Высшая математика в упражнениях и задачах/Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-М., 1986;

2. Задачник по линейной алгебре/ Икрамов Х.Д. - М., 1975;

3. Курс высшей алгебры/ Курош А.Г.- М., 1968;

4. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии/ Бугров Я.С., Никольский С.М.-М.,1980.