Квадратичные формы 3 (стр. 1 из 8)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………..................................................3

1 Теоретические сведения о квадратичных формах……………………………4

1.1 Определение квадратичной формы……………………………………….…4

1.2 Приведение квадратичной формы к каноническому виду………………...6

1.3 Закон инерции…………………………………………………………….….11

1.4 Положительно определенные формы……………………………………...18

2 Практическое применение квадратичных форм …...………………………22

2.1 Решение типовых задач …………………………………………................22

2.2 Задания для самостоятельного решения……...………………….………...26

2.3 Тестовые задания…………………………………………............................27

Заключение………….……………………………...……………………………29

Список использованной литературы…………………………………………...30

ВВЕДЕНИЕ

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнениями второго порядка, содержащими две или три переменные. Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому

, а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами [2] .

Теория квадратичных форм впервые была развита французским математиком Лагранжем, которому принадлежат многие идеи в этой теории, в частности, он ввел важное понятие приведенной формы, с помощью которого им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Затем эта теория значительно была расширенна Гауссом, который ввел много новых понятий, на основе которых ему удалось получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел, ускользавших от его предшественников в этой области [3].

Целью работы является изучение видов квадратичных форм и способов приведения квадратичных форм к каноническому виду.

В данной работе поставлены следующие задачи: выбрать необходимую литературу, рассмотреть определения, решить ряд задач и подготовить тесты.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ

1.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ

Квадратичной формой

от неизвестных называется сумма, каждый член которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных. Квадратичная форма бывает двух видов: действительной и комплексной, в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты действительными или комплексными числами.

Обозначая коэффициент при

через , а при произведении , через , квадратичную форму можно представить в виде:

.

Из коэффициентов

можно составить квадратную матрицу порядка ; она называется матрицей квадратичной формы , а ее ранг - рангом квадратичной формы. Если, в частности, , где , то есть матрица - невырожденная, то и квадратичная форма называется невырожденной. Для любой симметрической матрицы - го порядка можно указать в полне определенную квадратичную форму:

(1.1)

от

- неизвестных, имеющую элементы матрицы своими коэффициентами.

Обозначим теперь через

столбец, составленный из неизвестных:

.

является матрицей, имеющей строк и один столбец. Транспонируя эту матрицу, получим матрицу: , составленную из одной строки.

Квадратичная форма (1.1) с матрицей

может быть записана теперь в виде произведения: .

1.2 ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ

К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Предположим, что квадратичная форма

от неизвестных уже приведена невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду , где - новые неизвестные. Некоторые из коэффициентов могут быть нулями. Докажем, что число отличных от нуля коэффициентов непременно равно рангу формы . Матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид

,

и требование, чтобы эта матрица имела ранг

, равносильно предположению, что на ее главной диагонали стоит ровно отличных от нуля элементов.

Теорема. Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду. Если при этом рассматривается действительная квадратичная форма, то все коэффициенты указанного линейного преобразования можно считать действительными.

Доказательство. Эта теорема верна для случая квадратичных форм от одного неизвестного, так как всякая такая форма имеет вид

, являющийся каноническим. Введем доказательство по индукции, то есть доказывать теорему для квадратичных форм от неизвестных, считая что она уже доказана для форм с меньшим числом неизвестных.

Пусть дана квадратичная форма (1.1) от

неизвестных . Необходимо найти такое невырожденное линейное преобразование, которое выделило бы из квадрат одного из неизвестных, то есть привело бы к виду суммы этого квадрата и некоторой квадратичной формы от остальных неизвестных. Эту цель легко достигнуть в том случае, если среди коэффициентов , состоящих в матрице формы на главной диагонали, есть отличные от нуля, то есть в (1.1) входит отлично от нуля коэффициентом квадрат хотя бы одного из неизвестных .

Пусть

, тогда выражение , являющееся квадратичной формой, содержит такие же члены с неизвестным , как и форма , и по этому разность будет квадратичной формой содержащей лишь неизвестные , но не . Отсюда . Если ввести обозначения