О сугубо математических противоречиях (стр. 2 из 4)
d S замкнутой поверхности элементарного объема:
d S = idy dz⋅ + jdx dz⋅ + k dx dy⋅ (16)
Легко заметить, что эта минимальная поверхность представляет собой бесконечно малую плоскую площадку, нормаль к которой и выражает вектор (16). При этом выражение (13) преобразуется к виду:
dV
= d S = gradV (17)d r
и его следует понимать, как математическое утверждение о том, что в общем случае дифференциал замкнутой поверхности есть градиент локального объема, ограниченного этой замкнутой поверхностью. Этот дифференциал по своей сущности является вектором линейной плотности локального объема. Важным следствием выражения (17) является очевидный критерий незамкнутой поверхности: dV
= ∞ (18)d r
Кроме того, в учебниках и справочной литературе встречается выражение дифференциала объема в виде:
dV = S r⋅d ,
которое теперь можно уверенно считать некорректным. Корректным оказывается только равенство:
dV = d S r⋅d (19)
Действительно, равенство dV = S⋅d r может быть корректным только при условии линейной зависимости поверхности от своего дифференциала, а такая поверхность является плоскостью и замкнутой быть не может, почему и исключается корректность этого равенства. Кроме того, легко заметить, что в равенстве (19) обе его части есть величины третьего порядка малости, тогда как в равенстве dV = S r⋅d левая часть также величина третьего порядка малости, а правая часть есть величина первого порядка малости, что указывает на очевидную некорректность этого равенства.
На основании равенства (17) дифференциал радиус-вектора можно понимать, как производную локального объема по ограничивающей его замкнутой поверхности и представить в виде:
dV
d r =
(20)d S
Тогда дифференциал радиус-вектора по своей сущности оказывается вектором поверхностной плотности локального объема. Соответственно, обратное отношение:
1 d S
= (21)d r dV
оказывается производной замкнутой поверхности по локальному объему, ею ограниченному, и выражает вектор объемной плотности замкнутой поверхности.
Равенство (12), определяя вектор, обратный данному вектору, позволило непротиворечиво обосновать нелинейную операцию (13) скалярного деления на вектор. Таким образом, рассмотренное противоречие разрешено, как представляется, корректным способом и можно перейти к другому противоречию.
Пусть в упомянутом выше пространстве некоторая векторная величина W определена в виде функции трех независимых переменных (координат):
W = W(x y z, , ) (22)
Классическое выражение дифференциала этой величины имеет вид:
∂ W ∂ W ∂W
d W = dx + dy + dz (23)∂x ∂y ∂z
Как известно, дивергенция вектора W является скалярной величиной D, которую представляет математическое соотношение:
∂ W ∂W ∂ W
D = divW = i + j + k (24)∂x ∂y ∂z
На этом основании дифференциал (23) можно представить в виде очевидного произведения скаляра на вектор:
d W = D d⋅ r = divW r⋅d (25)
(Здесь дивергенция обозначена символом D). Непосредственно из выражения (25) следует очевидное равенство:
d W d r
= divW = D (26)Как и равенство (8), оно корректно с точки зрения классической математики, но по меркам линейной векторной алгебры его нельзя было признать корректным, поскольку оно выражает нелинейную операцию деления вектора на вектор. Но теперь сомнение в корректности снимается и равенство (26) здесь считается справедливым для любого вектора.
Между прочим, полезно отметить, что по своей сущности векторы (6) и (8) представляет собой линейную плотность скаляра, а скаляр (26) – линейную плотность вектора.
Как известно, всякий вектор может быть выражен через его координаты. Для заданного вектора (22) координаты по осям можно обозначить символами W Wx , y ,Wz и тогда его выражение через координаты принимает вид:
W = iWx + jWy + kWz (27)
Гамильтон даже ловко придумал символический вектор ∇ с символическими же координатами:
(28)∂x ∂y ∂z
Скалярное произведение символического вектора (28) с заданным вектором (27) в теории поля и называется дивергенцией заданного вектора:
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞
divW = ⎜⎜⎝i ∂x + j∂y + k ∂z ⎟⎟⎠⋅(iWx + jWy + kWz )= ∇⋅W (29)Очевидным результатом этого произведения является формальная сумма:
∂Wx ∂Wy ∂Wz
divW = + + (30)∂x ∂y ∂z
Формальной эта сумма здесь названа потому, что каждое слагаемое этой суммы является вполне определенной информацией о заданном векторе в строго определенном направлении пространства. В частности, такой информацией является линейная плотность вектора вдоль соответствующего координатного направления. То есть, это различные, но вполне определенные и важные информационные признаки вектора. Однако их арифметическая сумма оказывается общей, но неопределенной информацией о векторе – некое число в качестве суммы плотностей, в котором утрачена важная индивидуальность. А такая информация превращается в свою противоположность – дезинформацию. Поэтому скаляр в качестве дивергенции следует рассматривать только, как тройку чисел со своими знаками (упорядоченных по базису пространства), то есть, исключительно как формальную сумму. Возможно, не все с этим согласятся. Все-таки, непривычно.
Пусть в качестве заданного вектора W выступает радиус-вектор r:
W r( )= r = i x + jy + k z (31)
Тогда классическое выражение его дифференциала, в соответствии с равенствами (23) и (25), принимает вид:
∂r ∂r ∂r
d r = dx + dy + dz = divr⋅d r (32)∂x ∂y ∂z
Непосредственно из этого выражения следует очевидное значение дивергенции радиусвектора:
d r
divr =
=1 (33)d r
Но, в соответствии с равенством (30), эта же дивергенция принимает иное значение:
∂x ∂y ∂z
divr = + + =1+ +1 1 (34)∂x ∂y ∂z
Если это значение полагать формальной суммой, то линейная плотность радиус-вектора по равенству (33) всего лишь детализируется равенством (34) и не искажает информацию о радиус-векторе. А эта информация заключается в том, что компоненты радиус-вектора одинаково распределены по координатным осям и коэффициент распределения равен 1. То есть, равенство (34) в виде формальной суммы устанавливает изотропность векторного поля, порожденного радиус-вектором. Но в математике принято дивергенцию полагать именно арифметической суммой тройки чисел, ее представляющих. Поэтому в математических справочниках приводится неверное значение дивергенции центрального поля:
divr = 3 (35)
Отсюда можно сделать вывод: сущность дивергенции в качестве следствия выражения (32) вступает в противоречие с принятой ее интерпретацией в качестве арифметического следствия (35) выражения (34). А это может оказаться причиной не только математических, но и физических заблуждений. Кстати, о сущности дивергенции.
Выражение (31) означает, что заданный вектор W является частным случаем линейной функции радиус-вектора: