О сугубо математических противоречиях (стр. 3 из 4)

W r( ) = D₀ ⋅r

Для этого случая скалярный коэффициент пропорциональности равен тройке чисел:

D₀ =1+1+1.

Принадлежность каждого числа в этой тройке можно формально определить соответствующими ортами в скобках, упорядочив тем самым тройку чисел по базису пространства:

D₀ = (i)⋅1+ (j)⋅1+ (k)⋅1

Чтобы не загромождать выражение, можно это упорядочивание предполагать по умолчанию и проще всего разделить запятыми эти числа:

D₀ =11, ,1

Пусть вектор (22) является какой-либо еще частной функцией радиус-вектора, например, линейной функцией:

W₁ = D₁ ⋅r = i2x − j8y + k5z (36)

Представляется очевидным, что в этом случае скалярный коэффициент пропорциональности равен тройке иных чисел:

D₁ = 2 8 5,− ,+ (37)

Если по каким-либо причинам вектор (36) не известен, но известна его дивергенция (37), то по дивергенции именно в таком виде этот неизвестный вектор легко может быть определен интегрированием по координатам:

W₁ = ∫D₁ ⋅d r = i∫2⋅dx − j∫8⋅dy + k∫5⋅dz = i2x − j8y + k5z

Традиционная интерпретация этой же дивергенции имеет вид одного числа в качестве арифметической суммы:

D_1Т = 2 8 5− + = −1 (38)

В этом случае интегрирование по координатам приведет к искаженному значению вектора:

W_1Т = D_1Т ⋅r = −ix− jy−kz (39)

А кроме интегрирования по координатам никакого другого способа определить вектор по его дивергенции не существует.

Наконец, пусть задан вектор W₂ , определяющий некоторое векторное поле:

W₂ = i2x − j8y + k6z

Его дивергенция D₂ равна:

D₂ = 2 8 6− +

В качестве формальной суммы эта дивергенция не дает оснований качественно отличать заданный вектор от вектора W₁ : дивергенции D₁ и D₂ в виде формальных сумм указывают на различные анизотропности соответствующих векторных полей. Но в качестве арифметической суммы эта дивергенция равна 0. А такое значение, как известно, принимает только дивергенция вектора-константы. Следовательно, по данной дивергенции в традиционном ее толковании можно сделать неверный качественный вывод о векторе W₂ и его поле. То есть, в данном случае справедливо математическое утверждение:

D₂ = 2 8 6 2 86 0− + = ,− , ≠

Из изложенного следует, что дифференцирование по радиус-вектору (и, в общем случае, по произвольному вектору), есть нелинейная операция, результатом которой является преобразование скаляра в вектор, или вектора в скаляр, в зависимости от характера величины, подвергающейся такому дифференцированию. Это один из выводов. Но напрашивается и второй вывод: всякий скаляр есть результат дифференцирования вектора по вектору и представляет собой тройку чисел со своими знаками в виде формальной суммы. Если же этот скаляр определен в виде единственного числа, то его следует понимать, как тройку чисел, равных этому единственному числу, определяющему одинаковую плотность дифференцируемого вектора по всем координатным направлениям (физически это означает изотропность векторного поля). При этом результат произведения скаляра на вектор представляет собой новый вектор, в котором каждая компонента умножаемого вектора умножена на соответствующее число тройки скаляра (если эта тройка упорядочена по базису пространства). В частности, дифференциал (19) локального объема равен скаляру в виде тройки чисел:

dV = d S⋅d r = (idy dz⋅ + jdz dx⋅ + kdx dy⋅ )⋅(idx + jdy + kdz)=

(40)

= dx dy dz dx dy dz dx dy dz⋅ ⋅ , ⋅ ⋅ , ⋅ ⋅ = dx dy dz⋅ ⋅

Пусть произвольная скалярная величина U(r) определена в рассмотренном нетрадиционном виде линейной функции координат:

U(r)= a x b y c z⋅ , ⋅ , ⋅

Тогда вектор W_U градиента этой скалярной функции равен:

W_U = gradU = ia + jb + kc = const , а дивергенция этого вектора равна:

da db dc

divgradU = , ,

dx dy dz

При условиях: a = const , b = const , c = const эта дивергенция принимает значение: divgradU = 0 0 0, , = 0

То есть, дивергенция градиента скалярного поля равна нулю в том и только в том случае, если скалярное поле есть линейная функция координат прямоугольного пространства. Следовательно, дивергенция градиента скалярного поля равна нулю в том и только в том случае, когда каждая ее компонента равна нулю.

Попытка разрешить противоречие в численном значении дивергенции центрального поля неожиданно привела к переопределению понятия скалярной величины. Это далеко не самый лучший исход дела, поскольку ставится под сомнение одно из фундаментальных понятий теории поля. Но иной способ разрешить это противоречие пока не обнаружен ни в учебниках, ни в справочной литературе. Возможно, это переопределение понятия скалярной величины является заблуждением. Но оно может оказаться и вполне корректным, причем, с далеко идущими последствиями.

Однако уж если переопределение состоялось, то его уместно проверить в дальнейшем, например, на понятии массы. Но пока можно проверить его на простых нелинейных операциях. В частности, уместно рассмотреть операцию скалярного деления вектора на вектор, результатом которой должна быть скалярная величина в виде тройки самостоятельных чисел.

Пусть векторы A и B определены в прямоугольной системе координат выражениями:

A = i A_x + jA_y +k A_z и B = i B_x + jB_y +k B_z

Пусть скалярная величина u выражает скалярное отношение двух векторов:

A

u =

B

Это отношение можно представить через обратный вектор:

u = (iA + jA + kA )⋅⎛⎜i 1 + j 1 + k 1 ⎟⎞ = Ax + Ay + Az = Ax , Ay , Az

x y z ⎜⎝ Bx By Bz ⎟⎠ Bx By Bz Bx By Bz

Естественно теперь проверить, насколько это представление скаляра согласуется с умножением вектора на скаляр и с делением вектора на скаляр.

Упомянутое отношение предполагает справедливость равенства:

A = u⋅B

Операция умножения вектора на скаляр в этом случае имеет вид:

u⋅B = ⎛⎜⎜^⎝ B^Axx , BA^yy , B^Azz ⎞⎠⎟⎟⋅(i B_x + jB_y +k B_z )=

A^x A^{y Az}

= i B_x + jB_y

+k B_z = i A_x + jA_y +k A_z = A

Bx By Bz

и в полной мере подтверждает справедливость упомянутого отношения. Но это отношение предполагает также справедливость равенства:

A

B =

u

А это равенство требует определения скаляра, обратного заданному. Но, коль скоро скаляр теперь определен, как тройка чисел, естественно определить обратный скаляр тройкой чисел, обратных числам тройки скаляра, то есть, все как у вектора. Поэтому операция деления вектора на скаляр в этом случае имеет вид:

i Ax +,jAAy ,+k Az = (i Ax + jAy +k Az )⎛⎜⎜ BAxx , BAyy , BAzz ⎞⎟⎠⎟ = i Bx + jBy +k Bz = B

A A ⎝

Bx By Bz

и, опять же, вполне подтверждает справедливость указанного равенства.

Вообще говоря, если вектор определен тройкой чисел (координат) вдоль соответствующих направлений (ортов i,j,k ), то любые скалярные операции с векторами должны рассматриваться, как операции с этими числами только вдоль этих направлений, причем результаты одних операций носят векторный характер, а результаты других операций оказываются скалярными величинами. Например, возведение в квадрат радиусвектора (31) представляет собой его скалярное произведение на самого себя:

r r⋅ = (i x + jy + k z)⋅(i x + jy + k z)= x² + y² + z² = x², y²,z²

Скалярный результат этой операции представлен уже в переопределенном виде. Но этот скалярный результат предполагает обратную операцию извлечения квадратного корня из скаляра с результатом в векторном виде: