О сугубо математических противоречиях (стр. 4 из 4)

x², y²,z² = i x² + j y² + k z² = ±(i x + jy + k z)

Если же скалярная величина задана одним числом u , то результат извлечения квадратного корня из него должен иметь векторный вид: u = i u + j u + k u , хотя это и не очень привычно.

Профессиональные математики, возможно, сочтут это исследование некорректным, но вот что из него следует.

Дивергенцию (26) вектора (22) в виде производной по радиус-вектору можно выразить через локальный объем известным методом замены переменной:

d W d W dV

divW = = (41)

d r dV d r

Тогда, обозначив вектор объемной плотности вектора (22) символом ρ_W:

^ρ_W =

^{d W} (42)

dV

и принимая во внимание равенство (17), выражение (41) можно переписать в виде скалярного произведения двух векторов:

divW = ^ρ_W ⋅gradV = ^ρ_W ⋅d S (43)

Это значит, что вектор (22) теперь можно представить в трех эквивалентных интегральных представлениях:

W = ∫divW⋅d r = _∫(ρ_W ⋅d r)d S = ∫ρ_W ⋅dV (44)

Эти представления иллюстрируют очевиднуюсвязь объемного, поверхностного и криволинейного интегралов.

Теперь уместно рассмотреть две простые задачи, связанные с известной формулой Остроградского-Гаусса [1]:

∫H⋅d S =∫divH⋅dV

S V

В школе с первых же уроков изучения уравнений толковый учитель математики предостерегает своих учеников от грубых ошибок: «Если в вашем уравнении не соблюдается единство размерностей – ищите у себя грубую ошибку». Это безотказное правило математики. В этом же ряду, очевидно, должно стоять и правило единства порядков малости. В левой части приведенной формулы подынтегральное выражение является величиной второго порядка малости, тогда как подынтегральное выражение в правой ее части есть величина третьего порядка малости. Налицо некорректность. Вот почему рассматриваются следующие задачи.

1. Пусть задана некая скалярная величина Q такая, что:

dQ dQ

= H и = divH , (45)

d S dV

причем, должно быть понятно, что H есть некий вектор и:

d H

divH = ∇H =

(46)

d r

Тогда функция Q представляет собой скалярный поток векторного поля H через поверхность S, а производные (45) выражают сущность формулы Остроградского (в дифференциальной форме), которая, как известно, выражается равенством поверхностного и объемного интегралов:

∫H⋅d S =∫divH⋅dV = Q (47)

S V

Правый ее интеграл содержит дифференциал объема, который определен равенством (19). На основании этого равенства выражение (47) принимает вид:

∫H⋅d S =∫divH⋅d S⋅d r (48)

S V

Но, в силу равенства (46), эту формулу тогда необходимо записывать в виде:

∫H⋅d S =∫d H⋅d S , (49)

S S

который, к сожалению, нельзя отнести к числу математически корректных. Проблема в том, что всякая искривленная поверхность (выпуклая или вогнутая) в естественном физическом смысле является следствием некоторого локального силового воздействия (давления) на плоскость. В результате этого воздействия образуется поверхностное натяжение, за счет чего плоскость и деформируется естественным образом в искривленную поверхность. В теории же поверхностного интеграла замкнутую поверхность искусственно составляют из двух полуповерхностей с различным направлением векторов, их определяющих. Эти полуповерхности, будучи уже сформированными, не испытывают поверхностного натяжения, равно как не испытывают и никакого воздействия на себя. А это значит, что принятая математическая модель не адекватна исследуемому физическому явлению (отклонению от плоскости), на что и указывает выявленная некорректность.

2. Пусть теперь задана некая скалярная величина G такая, что: dG dG

= d H и = divH , (50) d S dV

подобно соотношениям (45). Методом замены переменной первое из этих равенств легко приводится к виду:

dG dG dV

= ⋅ = d H (51)

d S dV d S

Теперь, с учетом второго из равенств (50) и равенства (19), можно полученное выражение представить в виде:

d H = divH⋅d r , откуда следует:

d H

divH =

(52)

d r

То есть, в принятом определении скалярной величины G противоречия исключены.

Поэтому вполне корректные равенства:

dG = d H S⋅d и dG = divH⋅dV позволяют записать столь же корректное (в смысле единства порядков малости) уравнение:

G =∫d H⋅d S =∫divH⋅dV (53)

S V

Это уравнение и следует полагать скорректированной формулой Остроградского-Гаусса.

Представляется полезным комментарий к полученным результатам по рассмотренным задачам.

В первом случае скалярная величина Q была определена таким образом, чтобы сразу формально получить формулу Остроградского в традиционной ее форме. Но внимательный читатель легко заметит, что в определениях (45) этой скалярной величины уже заложена некорректность. Действительно, второе из этих двух равенств: dQ

= divH

dV

легко преобразовать к виду:

d H

dQ = divHdV =

d Sd r = d Hd S, (54) d r

который очевидным образом противоречит первому из равенств (45), если его привести к аналогичному виду:

dQ = Hd S (55)

Но только при таком противоречии из определения (45) следует традиционная формула (47) Остроградского. А это противоречие обусловлено упомянутым искусственным математическим приемом «складывания» замкнутой поверхности. Но всякая искусственность есть проявление субъективности, которая неминуемо приводит к искажению объективной реальности. В данном случае искусственность проявляется в том, что дифференциал объема есть величина третьего порядка малости, как следует из равенства (15), тогда как равенство (55) выражает величину второго порядка малости (определяется дифференциалом поверхности), почему и оказывается математически некорректным равенство (49). Замена в равенстве (55) вектора H на его дифференциал устраняет искусственность. А это непременно влечет за собой корректировку формулы Остроградского.

Литература.

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. – Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Изд. «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. М., 1967.