О сугубо математических противоречиях (стр. 1 из 4)

Океанов Е.Н.

Пусть некоторая скалярная величина Q определена, как функция трех независимых переменных x,y,z:

Q = Q x y z( , , ) (1)

Тогда классическое представление ее дифференциала имеет вид:

∂Q ∂Q ∂Q

dQ = dx + dy + dz (2)

∂x ∂y ∂z

Правую часть этого выражения уместно рассматривать, как скалярное произведение двух векторов:

dQ = gradQ d⋅ r, (3) один из которых является вектором градиента скалярной величины Q:

∂Q ∂Q ∂Q

gradQ = i + j + k (4)

∂x ∂y ∂z

в прямоугольном пространстве с базисом i,j,k. Вторым вектором является дифференциал радиус-вектора r = i x + j y + k z , определяющего, очевидно, в этом пространстве точку на поверхности, в которой градиент (4) и является нормалью к этой поверхности.

Производная скалярной величины Q по некоторому параметру t имеет, соответственно, вид:

dQ ∂Q dx ∂Q dy ∂Q dz d r

= + + = gradQ⋅

= gradQ⋅ v, (5)

dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt dt

d r

где в качестве векторного сомножителя градиента выступает вектор скорости v =

, dt если параметром t является время. Этот вектор принято считать вектором скорости точки, которую определяет радиус-вектор. На самом деле это вектор геометрической скорости радиус-вектора. Ведь сугубо математически скорость есть мера изменениярадиус-вектора, а не точки, которая остается неизменной, несмотря на изменение ее положения в пространстве.

Легко заметить, что непосредственно из выражения (3) следует очевидное соотношение:

dQ

gradQ =

(6)

d r

С точки зрения классической математики это соотношение не вызывает сомнений в корректности. Но с точки зрения векторного исчисления, которое опирается на линейную векторную алгебру, это соотношение оказывается некорректным, поскольку его правая часть выражает нелинейную операцию деления скаляра на вектор. А такая операция выходит за рамки допустимых в линейной векторной алгебре. Следовательно, надо либо примириться с этим неприятным противоречием, либо найти способ его корректного разрешения. Второе полезнее, но придется искать этот способ издалека.

В векторном исчислении градиент, дивергенция и ротор определяются как объемные производные скалярного или векторного поля, получаемые следующим образом (цитата из справочника [1]): «1) точка r поля U(r) или W(r) окружается замкнутой оболочкой Σ;

⎛ ⎞

2) вычисляется интеграл по поверхности Σ⎜_⎜∫U d⋅ S,∫W⋅d S,∫W×d S⎟_⎟ ; 3)

⎝Σ Σ Σ ⎠

находится предел отношения этого интеграла к объему V, заключенному внутри этой поверхности Σ, если этот объем стремится к нулю» в смысле стремления к нулю не величины объема, а диаметра тела в качестве расстояния между двумя наиболее

удаленными точками этого тела. Цитата приводится потому, что в ней уже вербально определен, в сущности, локальный объем V , как часть пространства, ограниченная замкнутой поверхностью S. Уместно заметить, кстати, что здесь оболочка Σотличается от поверхности Sналичием толщины, которая у поверхности отсутствует. С физической точки зрения стягивание объема в точку – а именно таков смысл упомянутого стремления объема к нулю – процедура не без последствий: либо оболочка лопнет, либо сил не достанет. Хотя, конечно, сугубо математически – то есть, мысленно – можно делать с объемом все, что угодно. Но должна, все-таки, быть дистанция между математикой (субъективным отображением реальности) и физикой (той самой объективной реальностью). Важно, однако, что в цитируемом определении остается достаточно неопределенным объем, который и должен стягиваться в точку. Поэтому для начала следует уточнить понятие объема, а заодно и понятие замкнутой поверхности, чтобы не формально, а по существу и со знанием дела, «стягивать» в точку этот объем, или производить с ним какие-либо иные действия, хотя бы и теоретически. При этом полезно заметить, что в цитируемом определении упоминается не какой-либо объем вообще, а объем внутри замкнутой поверхности. Здесь и далее часть пространства, заключенная внутри замкнутой поверхности называется локальным объемом V .

По классической математике дифференциал локального объема в виде функции координат V V x y z= ( , , ) выражается через его частные производные в виде:

∂V ∂V ∂V

dV = dx + dy + dz = gradV d⋅ r, (7)

∂x ∂y ∂z

откуда непосредственно следует соотношение:

dV

gradV =

(8)

d r

Это соотношение, как и соотношение (6), интересно тем, что явным образом выражает нелинейную операцию деления на вектор, которой нет, и не может быть места в линейной векторной алгебре. А именно эта алгебра является основой теории поля. В равенстве (8) ключевым является отношение:

1

d r

Поэтому надлежит подробно рассмотреть именно эту операцию в виде общего анализа вектора B , обратного заданному вектору A = i A_x + jA_y + k A_z . Очевидно, что оба вектора должны быть связанны соотношением:

1

B =

(9)

i A_x + jA_y + k A_z

Поскольку оба вектора должны находиться в одном пространстве (общий базис), постольку левую часть этого соотношения можно выразить через неизвестные координаты B_n , подлежащие определению через координаты A_n обратного вектора:

1

iB_x + jB_y + k B_z =

(10) i A_x + jA_y + k A_z

Но это значит, что компоненты исходного и обратного векторов имеют одинаковое направление, поскольку орты и представляют собой векторы направления. А это, в свою очередь, означает, что взаимно-обратными могут быть только (ненулевые!) координаты рассматриваемых векторов. То есть, должны выполняться равенства:

1 1 1

B_x =

, B_y = , B_z = (11)

Ax Ay Az

На этом основании единственно возможной корректной нелинейной интерпретацией соотношения (9) может быть равенство:

1 1 1

iB_x + jB_y + k B_z = i + j + k (12)

Ax Ay Az

Это равенство здесь понимается как определение вектора, обратного данному вектору. Но тогда, по аналогии, правую часть соотношения (8) можно преобразовать к виду:

dV 1 idy dz⋅ + jdx dz⋅ + k dx dy⋅

= dV = dV (13)

d r idx + jdy + k dz dx dy dz⋅ ⋅

и числитель в правой части соотношения (13) выразить через векторные произведения: idy dz⋅ + jdx dz⋅ + k dx dy⋅ = jdy×k dz + k dz×idx + idx× jdy (14)

Если на компонентах дифференциала d r радиус-вектора построить параллелепипед (пусть это будет некий микроскопический, скорее даже бесконечно малый параллелепипед), то объем этого параллелепипеда оказывается минимальным объемом, обусловленным только и исключительно дифференциалом (приращением) радиусвектора. Этот объем и принимается за локальный элементарный объем:

dV = dx dy dz⋅ ⋅ , (15)

ограниченный в данном случае замкнутой поверхностью из 6 граней этого микропараллелепипеда. Из выражения (14) следует, что каждое векторное произведение в его правой части есть вектор площадки на координатной плоскости, соответствующей одной из трех смежных граней упомянутого параллелепипеда. Если выражение (14) понимать, как векторную характеристику замкнутой поверхности, ограничивающей объем упомянутого параллелепипеда, то эта поверхность оказывается минимальной поверхностью, обусловленной только и исключительно дифференциалом (приращением) радиус-вектора. Эта векторная характеристика и принимается за элементарный вектор