Піраміда (стр. 2 из 2)
Піраміди в геометрії
Правильні многогранники. Переріз пірамід.
Основні формули стосовно піраміди
Об’єм піраміди Хеопса
V = ⅓ Sоснови · H
Параметри піраміди:
Висота (Н) – 137 м
Основа – квадрат, а тому
Sоснови = а²
Сторона піраміди – 233 м
Обчислюємо об’єм піраміди:
V = ⅓ · 233² ·137 = ⅓ · 7437593 ≈
≈ 2500000 м³ = 2,5 км³
Отже, об’єм піраміди Хеопса
приблизно дорівнює 2,5 км³
Запитання для самоперевірки
- Дайте означення піраміди (основи піраміди, бічних граней, ребер, висоти).
- Бічні ребра піраміди рівні. У яку точку проектується її вершина?
- Чи може вершина піраміди проектуватися в точку зовні основи, якщо бічні ребра рівні?
- Бічні грані піраміди однаково нахилені до основи. У яку точку основи проектується її вершина?
- Скільки бічних граней, перпендикулярних до основи, може мати піраміда?
Запитання для самоперевірки
Серед наведених нижче тверджень укажіть правильні:
-існує піраміда, яка має 125 ребер;
-існує піраміда, яка має 125 граней;
-піраміда може мати два бічні ребра перпендикулярні до основи;
-сума всіх плоских кутів n-кутної піраміди дорівнює 360°(n-1);
-якщо одна з бічних граней піраміди перпендикулярна до основи,то висота піраміди збігається з висотою однієї грані.
Задача. Основа піраміди – квадрат, її висота проходить через одну з вершин основи. Знайдіть бічну поверхню піраміди, Якщо сторона основи дорівнює 20 дм, а висота 21 дм.
Нехай РOABC - піраміда; ОАВС – квадрат; АВ=20 дм; РО ḻ (АВС); РО=21дм.
Sбіч=SРОА+SРОС+SРВС+SРАВ.
ΔРОА=ΔРОС.
ΔРСВ=ΔРАВ.
Sбіч=2SРОА+2SРАВ.
SРОА=½ОА·ОР=½·20·21=210(дм3).
Із ΔРОА: РА2=РО2+АО2=212+202=441+400=841
РА=29 дм.
ΔРАВ – прямокутний, тоді
SАВС=½РА·АВ=½·29·20=290 (дм2).
Sбіч=2·210+2·290=2·500=1000(дм2)=10(м2)
Відповідь: 10 м2.
Тестові завдання для самоперевірки (І рівень)
- Якщо сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 3 см, а апофема 1 см, то бічна поверхня піраміди дорівнює:
а) 1 см2; б) 3 см2; в) 1,5 см2; г) 4,5 см2.
- Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 5 см і 8 см. Знайти об'єм піраміди, якщо її висота дорівнює 15 см.
а) 600 см3; б) 200 см3; в) 130 см3; г) 390 см3.
- Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює d, а плоский кут при її вершині β. Визначити сторону основи піраміди.
а)d sin β/2; б)d cos β/2; в)2d sin β/2; г)2d tg β/2.
Тестові завдання для самоперевірки (ІІ рівень)
- Якщо периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а апофема – 1см, то двогранний кут при основі піраміди дорівнює:
а) 30°; б) 60°; в) arctg 2; г) arctg ½.
- Відстань від центра основи правильної піраміди до бічної грані дорівнює d, бічна грань нахилена до площини основи під кутом φ. Визначити апофему піраміди.
а) 2 d/sin2φ; б) d sin2φ; в) d/sin2φ;
г) d/cos2φ.
Завдання для самоперевірки
(ІІІ рівень)
- Якщо бічні ребра трикутної піраміди попарно перпендикулярні, а площі бічних граней дорівнюють 3 см, 4 см2, 6 см2, то її об'єм дорівнює:
а) 1 см3; б) 2 см3; в) 4 см3; г) 8 см3.
- Основа піраміди – прямокутний трикутник з гострим кутом α. Бічна грань, що містить гіпотенузу, перпендикулярна до основи, а дві інші – нахилені до неї під кутом β. Висота піраміди дорівнює Н. Знайдіть об'єм піраміди.
(Відповідь: 1/6 Н3ctg2β tg α (ctg α + 1)2.)
