О подвижном пространстве (стр. 1 из 2)

Океанов Е.Н.

В неподвижном геометрическом трехмерном пространстве X Y Z, , (с прямоугольными координатами) радиус-вектор:

r( ) t = ix t( ) + jy t( ) + k z t( ) (1)

определяет кривую в пространстве (годограф), по которой перемещается эта точка, являясь началом координат подвижного трехмерного пространства X Y Z_m, _m, _m (с иными прямоугольными координатами). Это подвижное пространство определено, как известно, сопровождающим трехгранником с базисом τ ,n,b – ортами касательной, нормали и бинормали к указанному годографу, соответственно. В этом подвижном пространстве начало координат неподвижного пространства определяется радиусвектором:

r_m =τ x_m + n y_m + b z_m (2)

Представляется очевидным равенство:

r =− r_m, (3)

поскольку левая часть этого равенства выражает расстояние от начала неподвижного пространства до начала подвижного пространства, а правая часть, наоборот, расстояние от начала подвижного пространства до начала неподвижного пространства. Но это – одно и то же расстояние, и лишь в векторной интерпретации оно характеризуется разными векторами с одинаковым модулем и противоположными направлениями. Поэтому равенство (3) можно дополнить равенством:

r = r_m (4)

Орты подвижного пространства можно выразить через орты неподвижного пространства:

τ= i^{τ τ τ}_x + j _y + k _z , n = in_x + jn_y + k n_z , b = ib_x + jb_y + kb_z (5)

и тогда равенство (3) преобразуется к виду:

i( x+ ^τ_{x m}x + n y_{x m} + b z_{x m} ) + + j( y ^τ_{y m}x + n y_{y m} + b z_{y m} ) + k( z+ ^τ_{z m}x + n y_{z m} + b z_{z m} ) = 0, откуда следуют очевидные равенства:

τ z m x + n yz m + b zz m = − x

^τ_{y m}x + n y_{y m} + b z_{y m} = − y , (6)

τ z m x + n yz m + b zz m = − z

τ x nx Δ = τy ny τ z nz и легко приводится к скалярному равенству:

bx by (7) bz

Эти равенства естественно рассматривать, как систему трех уравнений с тремя неизвестными x y z_m, _m, _m, поскольку задание радиус-вектора (1) вполне определяет значение остальных величин в этой системе. Ее определитель равен:

Δ = ^τ_x ( n b_{y z} − n b_{z y} ) + ^τ_y ( n b_{z x} − n b_{x z} ) + ^τ_z ( n b_{x y} − n b_{y x} ) , (8) которое в векторной форме принимает вид:

Δ = τ⋅ ( n b× ) (9)

Но, в силу очевидного равенства:

τ = n b× , определитель (7) принимает значение:

Δ =τ = ² 1 (10)

− x nx Δ x = − y ny − z nz

bxby = − r n b⋅ ( × ) (11) bz

Первый частный определитель Δ _x системы равен:

и подвижная координата x_m принимает значение:

Δ ^x ( × ) (12) x_m = = − r n b⋅

Δ

Второй частный определитель Δ _y системы равен:

τ _x − x b_x

Δ _y = ^τ_y − y b_y= r⋅ τ× ( b) (13)

τ _z − z b_z

Соответственно, вторая подвижная координата y_m принимает значение:

τ x nx Δ z = τy ny τ z nz

− x− y = − r⋅ ( τ× n) (15) − z

y_m (14) Наконец, третий частный определитель Δ _z равен:

и третья подвижная координата z_m принимает значение: z_m

(16)

Теперь необходимо принять во внимание равенства:

n b× = τ, τ× b = − n, τ× n = b , (17)

в соответствии с которыми подвижные координаты принимают вид скалярных произведений:

x_m = − r⋅τ , y_m = − r n⋅ , z_m = − r b⋅ (18)

Подстановка этих значений в уравнение (2) позволяет выразить радиус-вектор подвижного пространства через радиус-вектор неподвижного пространства:

r_m = − r⋅τ ² − r n r b⋅ ² − ⋅ ² = − r( τ ² + n b² + ² ) = − r⋅ 1 = − r, подтверждая равенство (3), если, конечно, учитывать работу [1] о сущности скаляра. Более того, полученный результат лишний раз подтверждает корректность, но – главное – актуальность этой работы. Потому, что теперь без всяких надуманных « мысленных экспериментов» можно строго математически сравнивать скорости в неподвижной и подвижной системах отсчета. Действительно, скорость vрадиусвектора (1) в неподвижной системе отсчета равна производной этого радиус-вектора по времени:

d r

v =

(19) dt

В свою очередь, скорость v_mрадиус-вектора (2) равна его производной по времени:

d r^m v_m =

(20) dt Но из равенства (3) следует очевидное равенство:

v = − v_m, (21)

в котором нет и не может быть даже намека на преобразования Лоренца. Следует отметить, что на подвижную и неподвижную системы отсчета никакие ограничения не накладывались в ожидании, что исследование выведет на особенности, позволяющие отличать инерциальную систему от каких-либо иных. Не вывело.

Здесь полезно обратить внимание на принципиальное отличие физической сущности скорости от ее математической сущности. Физическая сущность скорости (например, некоторого тела) состоит в том, что скорость тела есть мера того, как быстро тело меняет свое положение относительно выбранного репера (ориентира). На этом основании физическое понятие скорости тела можно полагать относительным. Математическая сущность скорости состоит в том, что скорость есть производная вектора по времени, и, коль скоро вектор всегда является абсолютной величиной, математическое понятие скорости является абсолютным. Обе сущности оказываются субъективным отображением объективной реальности, и, несмотря на различие, не являются взаимоисключающими. Поэтому они могут совпадать, или не совпадать в оценке объективной реальности. На этом основании можно говорить о наличии своеобразной интерференции понятий в сознании исследователя. Когда физическая сущность совпадает с математической сущностью, вероятность заблуждений в изучении объективной реальности становится меньше. В противном случае возникают различные паразитные учения (например, о теплороде 200 лет назад, или о так называемых торсионных полях нынче), вплоть до «философского» отрицания генетики и кибернетики.

Так вот, если скорость (тела) понимать, как непосредственную характеристику движущегося тела, то могут возникать проблемы интерференционного (в данном случае - терминологического) характера, приводящие к подмене понятий и, как следствие, к подмене решаемой задачи. Здесь скорость всегда понимается в ее строгом математическом смысле – производная вектора по времени. Это единственный способ максимально уберечься от заблуждений. Тогда физическую « скорость тела» следует понимать, как упрощение длинного определения:

– скорость тела есть производная по времени радиус-вектора из начала системы отсчета до центра масс этого тела и является не характеристикой тела, а только и исключительно характеристикой этого радиус-вектора.

Но это упрощение повлекло за собой подмену характеристики математического объекта (вектора) якобы характеристикой физического объекта (тела), а это уже – произвол, чреватый непредсказуемыми последствиями. Особенно с участием « мысленных экспериментов», которые вполне могут оказаться совсем немыслимыми, хотя и красивыми.