Многомерные и многосвязные системы (стр. 3 из 3)

Приравниваем коэффициенты при равных степенях многочленов

Решая полученную систему уравнений, получаем:

Искомое управление принимает вид:

Структура синтезированной системы представлена на рис. 8.

Она построена по уравнениям:

Рис. 8. Структура синтезированной системы

2. Построение наблюдателя полного порядка

Система

называется асимптотическим наблюдателем полного порядка, если для любого начального состояния х(0) и всех

оценка

с ростом времени асимптотически приближается к вектору состояния

Найдём структуру асимптотического наблюдателя, для чего определим ошибку восстановления

и найдём модель её изменения:

Затем потребуем, чтобы

при всех

Это равенство возможно при:

Таким образом, структура асимптотического наблюдателя полного порядка определяется моделью вида:

На рис. 9 изображена структура системы и её наблюдателя.

Рис. 9. Структура системы с наблюдателем

Задача синтеза наблюдателя системы состоит в том, чтобы найти матрицу

. Это можно сделать, исходя из условия асимптотической сходимости оценки

к вектору состояния

при любых начальных состояниях наблюдателя и системы.

Пусть ошибка восстановления

, тогда

Ошибка восстановления описывается линейным однородным дифференциальным уравнением с матрицей

и ненулевыми начальными условиями, а поэтому асимптотическая сходимость ошибки к нулю возможна тогда и только тогда, когда собственные числа матрицы

, которые называют полюсами наблюдателя, располагаются в левой полуплоскости.

Пусть матрица

тогда матрица

Полюса наблюдателя определяются уравнением:

Переходные процессы в наблюдателе будут несравнимы с процессами в системе, если полюса наблюдателя будут значительно левее полюсов системы. Поскольку характеристические числа замкнутой системы равны:

{– 4; ± 5 j },

то расположим полюса наблюдателя в точках:

Желаемый характеристический полином наблюдателя принимает вид:

что будет иметь место тогда, когда:

Решая полученную систему уравнений, получаем:

;

Находим матрицу:

Модель асимптотического наблюдателя системы принимает вид:

Структура системы со своим асимптотическим наблюдателем полного порядка представлена на рис. 10.

Она построена по уравнениям: