Контрольная работа

«Многомерные и многосвязные системы»

Задание

Для многомерной системы, заданной матрицами А, В, С, получить:

1. Передаточную функцию

;

2. Частотную передаточную функцию

;

3. Годограф;

4. Импульсную характеристику

;

5. Переходную характеристику

;

6. ЛАЧХ

;

7. ФЧХ

Составить структурную схему системы.

Дано:

;

Решение:

1. Передаточная функция

Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:

Преобразуем по Лапласу матричные уравнения:

; (1)

, (2)

где

;

– лапласовы преобразования координат состояния

, выходных

и входных

сигналов.

Преобразуем уравнение (1):

Выносим за скобки:

где

– единичная матрица.

Умножаем слева на обратную матрицу:

Откуда получаем:

Подставляем в уравнение (2):

Получаем:

Выражение

называют передаточной функцией системы.

Находим её:

Находим обратную матрицу:

Подставляем:

2. Частотная передаточная функция

Для получения частотной передаточной функции производим замену в передаточной функции

получаем:

Выделим действительную и мнимую части:

для этого умножим числитель и знаменатель

на комплексно – сопряжённый знаменатель:

;

3. Годограф

Годограф – это график частотной передаточной функции

на комплексной плоскости при изменении частоты

от нуля до бесконечности.

Изменяя частоту, производим расчёт действительной

и мнимой

частей частотной передаточной функции.

Результат расчёта записываем в таблицу 1.

Таблица 1. Расчёт годографа


0	2,8750000	0,0000000	10	-0,0512719	0,4570747	200	-0,00018	0,020008
1	2,7230769	0,9846154	20	-0,0163435	0,2074170	300	-0,000078	0,013336
2	1,9500000	1,9000000	30	-0,0075500	0,1355448	400	-0,000044	0,010001
3	0,8344828	1,9862069	40	-0,0043030	0,1009350	500	-0,000028	0,008001
4	0,2250000	1,5500000	50	-0,0027705	0,0804792	600	-0,000019	0,006667
5	0,0130624	1,1611030	60	-0,0019302	0,0669441	700	-0,000014	0,005715
6	-0,0500000	0,9000000	70	-0,0014209	0,0573176	800	-0,000019	0,005000
7	-0,0645030	0,7269777	80	-0,0010893	0,0501171	900	-0,000009	0,004445
8	-0,0634615	0,6076923	90	-0,0008614	0,0445267	1000	-0,000007	0,004000
9	-0,0578113	0,5216604	100	-0,0006982	0,0400600	2000	-0,000002	0,002000

Можно построить график на комплексной плоскости – рис. 1.

Рис. 1. Годограф

4. Импульсная характеристика

Импульсная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:

Найдём полюса передаточной функции:

Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.

Разложим передаточную функцию на простые дроби:

Используя табличные значения, находим:

Таким образом, получаем:

Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 2.

Таблица 2. Импульсная характеристика

	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5
	-4	11,28	62,69	100,8	-167,1	-1236	-2395	2097	23854	54578	-15944

Строим график импульсной характеристики – рис. 2.

Рис. 2. Импульсная характеристика

5. Переходная характеристика

Переходная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции, делённой на р: