Следовательно,
( =-1; ( =1 и ( ( , то есть в точке функция производной не имеет.Различные определения непрерывности функции в точке.
Определение 1 (основное) Функция
называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции в этой точке.Определение 2 (на языке
Функция называется непрерывной в точке , если ε, δ>0, такое что .Определение 3 (по Гейне, на языке последовательности) Функция
называется непрерывной в точке , если для любой последовательности сходящейся к точке соответствующая последовательность значений функции сходится к .Определение 4 (на языке приращений) Функция
называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.Понятие дифференцируемой функции
Определение 1 Функция
, заданная на множестве ( называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить как (*), где A - const , независящая от , - бесконечно малая приОпределение 2 Функция, дифференцируемая в любой точке множества, называется дифференцируемой на множестве.
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью
Теорема. Если функция дифференцируема в точке
, то она непрерывна в точке .Доказательство.
Пусть задана функция
Функция дифференцируема в точке , гдеПри
Обратная теорема. Если функция непрерывна, то она дифференцируема.
Обратная теорема неверна.
в - не дифференцируема, хотя непрерывна.Классификация точек разрыва
Определение Функция не являющаяся непрерывной в точке
является разрывной в точке , а саму точку называют точкой разрыва.Существуют две классификации точек разрыва: I и II рода.
Определение Точка
называется точкой разрыва I рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы неравные друг другу.Определение Точка
называется точкой устранимого разр ыва, если , но они не равны значению функции в точке .Определение Точка
называется точкой разрыва II рода, если в этой точке односторонние пределы равны или один из односторонних пределов бесконечен или в точке не существует предела.·
– бесконечные;·
– бесконечный или – бесконечный;·
Признаки равномерной сходимости рядов
Признак Вейерштрасса.
Если члены функционального ряда
(1) удовлетворяют в области неравенствам где - член некоторого сходящегося числового ряда то ряд (1) сходится в равнмерно.Теорема 1 Пусть функции
определены в промежутке и все непрерывны в некоторой точке этого промежутка. Если ряд(1) в промежутке сходится равномерно, то и сумма ряда в точке также будет непрерывна.Пример непрерывной функции без производной
Первый пример такого рода был построен Вейерштрассом; его функция определяется рядом:
,где 0< a <1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab >1+
π). Этот ряд мажорируется сходящейся прогрессией , следовательно (признаки равномерной сходимости рядов), сходится равномерно, и его сумма является всюду непрерывной функцией от x . Кропотливым исследованием Вейерштрассу удалось показать, что тем не менее ни в одной точке для нее не существует конечной производной.