Смекни!
smekni.com

Непрерывная, но не дифференцируемая функции (стр. 2 из 5)

Следовательно,

(
=-1;
(
=1 и
(
(
, то есть в точке
функция производной не имеет.

Различные определения непрерывности функции в точке.

Определение 1 (основное) Функция

называется непрерывной в точке
, если предел функции при
равен значению функции в этой точке.

Определение 2 (на языке

Функция
называется непрерывной в точке
, если
ε,
δ>0, такое что
.

Определение 3 (по Гейне, на языке последовательности) Функция

называется непрерывной в точке
, если для любой последовательности сходящейся к точке
соответствующая последовательность значений функции сходится к
.

Определение 4 (на языке приращений) Функция

называется непрерывной в точке
, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Понятие дифференцируемой функции

Определение 1 Функция

, заданная на множестве
(
называется дифференцируемой в точке
, если ее приращение в этой точке
можно представить как
(*), где A - const , независящая от
,
- бесконечно малая при

Определение 2 Функция, дифференцируемая в любой точке множества, называется дифференцируемой на множестве.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью

Теорема. Если функция дифференцируема в точке

, то она непрерывна в точке
.

Доказательство.

Пусть задана функция

Функция дифференцируема в точке
, где

При

Обратная теорема. Если функция непрерывна, то она дифференцируема.

Обратная теорема неверна.

в
- не дифференцируема, хотя непрерывна.

Классификация точек разрыва

Определение Функция не являющаяся непрерывной в точке

является разрывной в точке
, а саму точку
называют точкой разрыва.

Существуют две классификации точек разрыва: I и II рода.

Определение Точка

называется точкой разрыва I рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы неравные друг другу.

Определение Точка

называется точкой устранимого разр ыва, если
, но они не равны значению функции в точке
.

Определение Точка

называется точкой разрыва II рода, если в этой точке односторонние пределы равны
или один из односторонних пределов бесконечен или в точке
не существует предела.

·

бесконечные;

·

бесконечный или
бесконечный;

·

Признаки равномерной сходимости рядов

Признак Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда

(1) удовлетворяют в области
неравенствам
где
- член некоторого сходящегося числового ряда
то ряд (1) сходится в
равнмерно.

Теорема 1 Пусть функции

определены в промежутке
и все непрерывны в некоторой точке
этого промежутка. Если ряд(1) в промежутке
сходится равномерно, то и сумма ряда
в точке
также будет непрерывна.

Пример непрерывной функции без производной

Первый пример такого рода был построен Вейерштрассом; его функция определяется рядом:

,

где 0< a <1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab >1+

π). Этот ряд мажорируется сходящейся прогрессией
, следовательно (признаки равномерной сходимости рядов), сходится равномерно, и его сумма является всюду непрерывной функцией от x . Кропотливым исследованием Вейерштрассу удалось показать, что тем не менее ни в одной точке для нее не существует конечной производной.