Здесь будет рассмотрен более простой пример ван-дер-Вардена, построенный по существу на той же идее, лишь колеблющиеся кривые у= cosωχ заменены колеблющимися ломаными.
Итак, обозначим через
абсолютную величину разности между числом χ и ближайшим к нему целым числом. Эта функция будет линейной в каждом промежутке вида , где s -целое; она непрерывна и имеет период 1. Ее график представляет собой ломаную, он изображен на рис.1; отдельные звенья ломаной имеют угловой коэффициент ±1.Положим, затем, для к=1,2,3,…:
Эта функция будет линейной в промежутках вида
; она также непрерывна и имеет период . Ее график также ломаная, но с более мелкими зубчиками; на рис.1(б), например, изображен график функции . Во всех случаях угловые коэффициенты отдельных звеньев ломаной и здесь равны ±1.Определим теперь, для всех вещественных значений x , функцию f ( x ) равенством
Так как, очевидно, 0≤
( k =0,1,2,…), так что ряд мажорируется сходящейся прогрессией , то (как и в случае функции Вейерштрасса) ряд сходится равномерно, и функция всюду непрерывна.Остановимся на любом значении
. Вычисляя его с точностью до (где n =0,1,2,…), по недостатку и по избытку, мы заключим его между числами вида: ≤ , где -целое. ( n =0,1,2,…).Очевидно, что замкнутые промежутки оказываются вложенными один в другой. В каждом из них найдется такая точка
, что расстояние ее от точки равно половине длины промежутка. = ;Ясно, что с возрастанием n варианта
.Составим теперь отношение приращений
=Но при k > n , число
есть целое кратное периодам функции , соответствующие члены ряда обращаются в 0 и могут быть опущены. Если же k ≤ n , то функция , линейная в промежутке , будет линейной и в содержащемся на нем промежутке , причем (k=0,1,…,n).Таким образом, имеем окончательно
иными словами, это отношение равно четному целому числу при нечетном n и нечетному числу при четном n . Отсюда ясно, что при отношение приращений ни к какому конечному пределу стремится не может, так что наша функция при конечной производной не имеет.Решение упражнений
Упражнение 1 ([2], №909)
Функция
определена следующим образом: . Исследовать непрерывность и выяснить существованиеРешение
На
непрерывна как многочлен;На (0;1)
непрерывна как многочлен;На (1;2)
непрерывна как многочлен;На (2;
непрерывна как элементарная функция. - точки подозрительные на разрывТак как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке
.Так как левый предел равен правому пределу и равен значению функции в точке
функция непрерывна в точкеТак как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке
.1 способ. В точке
не существует конечной производной функции Действительно, предположим противное. Пусть в точке существует конечная производная функции непрерывна в точке (по теореме 1: Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна.2 способ. Найдем односторонние пределы функции
в точке x =0.