Непрерывная, но не дифференцируемая функции (стр. 4 из 5)
Упражнение 2 ([1], №991)
Показать, что функция
имеет разрывную производную.Решение.
Найдем производную функции.
При
При
Предел
не существует 
разрывна в точке 
Так как
– бесконечно малая функция, 
- ограниченная.Докажем, что функция
в точке предела не имеет.Для доказательства достаточно показать, что существуют две последовательности значений аргумента сходящиеся к 0, что
не сходится к 
Вывод: функция
в точке предела не имеет.Упражнение 3 ([1], №995)
Показать, что функция
где 
- непрерывная функция и 
не имеет производной в точке 
. Чему равны односторонние производные 
Решение.
Односторонние пределы не равны
функция 
не имеет производной в точке .Упражнение 4 ([1], №996)
Построить пример непрерывной функции, не имеющей производной функции в данных точках:
Решение.
Рассмотрим функцию
в точках 
Найдем односторонние пределы
=
=
Односторонние пределы не равны
функция не имеет производной в точке 
. Аналогично, функция не имеет производных в остальных точках 
Упражнение 5 ([4], №125)
Показать, что функция
не имеет производной в точке 
.Решение
Возьмем приращение
Дадим точке 
приращение 
Получим 
Найдем значение функции в точках
и 
Найдем приращение функции в точке
Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента
Перейдем к пределу
Вывод: не имеет конечной производной в точке
.Упражнение 6 ([4], №128)
Показать, что функция
не имеет производной в точке 
.Решение
Возьмем приращение
Дадим точке приращение Получим 
Найдем значение функции в точках
и 
Найдем приращение функции в точке
Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента
Перейдем к пределу
Вывод: не имеет конечной производной в точке
.Упражнение 7 ([4], №131)
Исследовать функцию на непрерывность
Решение.