Непрерывная, но не дифференцируемая функции (стр. 1 из 5)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УССУРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

Физико–математический факультет

Курсовая работа по математическому анализу

Тема: «Непрерывная, но не дифференцируемая функции»

Выполнила: Пляшешник Ксения

студентка 131 группы

Руководитель: Делюкова Я.В.

Уссурийск – 2011г.

Содержание

Введение.............................................................................................. 3

Историческая справка......................................................................... 4

Основные определения и теоремы..................................................... 5

Пример непрерывной функции без производной........................... 10

Решение упражнений........................................................................ 13

Заключение........................................................................................ 21

Список литературы........................................................................... 22

Введение

Курсовая работа посвящена изучению связи между непрерывностью и существованием производной функции одной переменной. Исходя из цели ставились задачи:

1. Изучить учебную литературу;

2. Изучить пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке, построенной ван-дер-Варденом;

3. Прорешать систему упражнений.

Историческая справка

Ба́ртель Лее́ндерт ван дер Ва́рден (нидерл. Bartel Leendert van der Waerden , 2 февраля 1903, Амстердам , Нидерланды — 12 января 1996, Цюрих , Швейцария) — голландский математик.

Обучался в Амстердамском университете, затем в Гёттингенском университете , где на него огромное влияние оказала Эмми Нётер.

Основные работы в области алгебры , алгебраической геометрии, где он (наряду с Андре Вейлем и О.Зарисским) поднял уровень строгости, и математической физики , где он занимался приложением теории групп к вопросам квантовой механики (наряду с Германом Вейлем и Ю.Вигнером ). Его классическая книга Современная алгебра (1930) стала образцом для последующих учебников по абстрактной алгебре и выдержала множество переизданий.

Ван дер Варден — один из крупнейших специалистов по истории математики и астрономии в Древнем мире. Его Пробуждающаяся наука (Ontwakende wetenschap 1950, русский перевод 1959) даёт развёрнутое изложение истории математики и астрономии в Древнем Египте, Вавилоне и Греции. В Приложении к русскому переводу этой книги опубликована статья «Пифагорейское учение о гармонии» (1943) — фундаментальное изложение пифагорейских взглядов на музыкальную гармонию .

Основные определения и теоремы

Предел функции в точке. Левые и правые пределы

Определение (предел по Коши, на языке

Число называется пределом функции в точке , если

Определение (на языке окрестности) Число

называется пределом функции в точке , если для любой -окрестности числа сущесвует - окрестность точки такая, что как только

Определение (по Гейне) Число

называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к ( то есть , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу

Определение Число

называется левым пределом функции в точке , если

Определение Число

называется правым пределом функции в точке , если

Теорема (необходимое и достаточное условие существования предела)

Для того чтобы в точке

существовал предел функции необходимо и достаточно, чтобы существовали левые и правые пределы равные между собой.

Понятие производной. Односторонние производные.

Рассмотрим функцию

заданную на множестве

1. В озьмем

возьмем приращение . Дадим точке приращение Получим .

2. Вычислим значение функции в точках

. и

3. Найдем приращение функции в точке

.

4. Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента

.

причем приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным, то этот предел называется производной в точке

и обозначают . Он может быть и бесконечным.

левой (левосторонней) производной функции

в точке , а если

существует конечный предел

то его называют правосторонней производной функции в точке .

Функция

имеет в точке тогда и только тогда, когда в точке совпадают ее левая и правая производные:

( ( .

Рассмотрим функцию

Найдем односторонние производные в точке