Отсюда

, то есть

.
13.

.
Так как

, то

.
2. Производная сложной функции
Пусть дана функция

и при этом

. Тогда исходную функцию можно представить в виде

. Функции такого типа называются сложными. Например,

.
В выражении

аргумент

называется промежуточным аргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как они охватывают практически все виды существующих функций.
Теорема. Пусть функция

имеет производную в точке

, а функция

имеет производную в соответствующей точке

. Тогда сложная функция

в точке

также будет иметь производную равную производной функции

по промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по

, то есть

.
Для доказательства дадим приращение аргументу

, то есть от

перейдем к

. Это вызовет приращение промежуточного аргумента

, который от

перейдет к

. Но это, в свою очередь, приведет к изменению

, который от

перейдет к

. Так как согласно условию теоремы функции

и

имеют производные, то в соответствии с теоремой о связи дифференцируемости и непрерывности функции (теорема 11.2.2) они непрерывны. Значит, если

, то и

, что, в свою очередь, вызовет стремление

к нулю.
Составим

. Отсюда,

и, следовательно,

.
Если функция

имеет не один, а два промежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде

, где

, а

, или

, то, соответственно,

и так далее.
3. Дифференцирование параметрически заданной функции
Выше были рассмотрены производные элементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций, составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций, которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов является параметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изучении уравнения прямой линии.
При обычном задании функции уравнение

связывало между собой две переменных: аргумент и функцию. Задавая

, получаем значение

, то есть пару чисел, являющихся координатами точки

. При изменении

меняется

, точка начинает перемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бывает удобно переменные

и

связывать не между собой, а выражать их через третью переменную величину.
Пусть даны две функции:

где

. Для каждого значения

из данного промежутка будет своя пара чисел

и

, которой будет соответствовать точка

. Пробегая все значения,

заставляет меняться

и

, то есть точка

движется и описывает некоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданием функции, а переменная

– параметром.
Если функция

взаимно однозначная и имеет обратную себе, то можно найти

. Подставляя

в

, получим

, то есть обычную функцию. Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическом задании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно.
Так, в механике принят способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям

и

в зависимости от времени

, то есть в виде параметрически заданной функции

Такой способ значительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюда добавляется еще и уравнение

.
В качестве примера рассмотрим несколько параметрически заданных кривых.
1. Окружность.
Возьмем точку

на окружности с радиусом

. Выражая

и

через гипотенузу прямоугольного треугольника, получаем:

Это и есть уравнение окружности в параметрической форме (рис. 3.1). Возводя каждое уравнение в квадрат, отсюда легко получить обычное уравнение окружности

.