Смекни!
smekni.com

Таблица производных Дифференцирование сложных функций (стр. 1 из 3)

Контрольная работа

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций

1. Таблица производных

Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.

1.

.

Найдем производную, когда

.

Зададим приращение аргументу

, что даст
. Так как

, а
, то

Отсюда

и
,

то есть

. Если
, результат тот же.

2.

.

Зададим приращение аргументу

, что даст
. Так как
, а
, то

.

Отсюда

и
, то есть
.

3.

.

Зададим приращение аргументу

, что даст
. Так как
, а
, то

.

Отсюда

и
, то есть
.

4.

.

По определению

. Будем дифференцировать
как частное:

, то есть
.

5.

.

По определению

. Будем дифференцировать
как частное:

, то есть
.

6.

.

Зададим приращение аргументу

, что даст
. Так как
, а
, то

.

Отсюда

и

,

то есть

. Здесь была использована формула для второго замечательного предела.

7.

.

Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим

:
. Значит,
.

8.

.

Зададим приращение аргументу

, что даст
. Так как
, а
, то
. Отсюда

и
, то есть
.

Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.

9.

.

Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим

:
. Значит,
.

Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если

, то
.

Теорема. Если для некоторой функции

существует обратная ей
, которая в точке
имеет производную не равную нулю, то в точке
функция
имеет производную
равную
, то есть
.

Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента:

. Так как функция
имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть
, откуда
. Значит,
.

Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.

10.

.

В данном случае обратной функцией будет

. Для нее
. Отсюда

,

то есть

.

11.

.

Так как

, то
.
.

В данном случае обратной функцией будет

. Для нее

.