Контрольная работа
Дисциплина: Высшая математика
Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций
1. Таблица производных
Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.
1.
.Найдем производную, когда
.Зададим приращение аргументу
, что даст . Так как , а , тоОтсюда
и ,то есть
. Если , результат тот же.2.
.Зададим приращение аргументу
, что даст . Так как , а , то .Отсюда
и , то есть .3.
.Зададим приращение аргументу
, что даст . Так как , а , то .Отсюда
и , то есть .4.
.По определению
. Будем дифференцировать как частное: , то есть .5.
.По определению
. Будем дифференцировать как частное: , то есть .6.
.Зададим приращение аргументу
, что даст . Так как , а , то .Отсюда
и ,то есть
. Здесь была использована формула для второго замечательного предела.7.
.Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим
: . Значит, .8.
.Зададим приращение аргументу
, что даст . Так как , а , то . Отсюда и , то есть .Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.
9.
.Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим
: . Значит, .Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если
, то .Теорема. Если для некоторой функции
существует обратная ей , которая в точке имеет производную не равную нулю, то в точке функция имеет производную равную , то есть .Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента:
. Так как функция имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть , откуда . Значит, .Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.
10.
.В данном случае обратной функцией будет
. Для нее . Отсюда ,то есть
.11.
.Так как
, то . .В данном случае обратной функцией будет
. Для нее .