Теория нумераций (стр. 13 из 22)

Следствие. Категория

эквивалентна малой категории, т.е. категории, семейство объектов которой образует множество.

Простая проверка показывает, что для того чтобы морфизм

был мономорфизмом (эпиморфизмом) категории , необходимо и достаточно, чтобы отображение , задающее морфизм, было одно – однозначным (отображением на ). Для всякого морфизма o через обозначим отношение эквивалентности на , определенное так: . Вместо обозначения будем использовать в этом случае обозначение , а естественный морфизм из в будем обозначать . Определим морфизм такой, чтобы диаграмма

была коммуникативной. Пусть

, тогда положим . Проверим корректность определения ; пусть , тогда . Если такова, что , то , так что – морфизм. Соотношение очевидно. Представление всякого морфизма в виде , где однозначно определены указанным выше способом, назовем каноническим представлением морфизма . Отметим следующие свойства канонического представления: – эпиморфизм, а – мономорфизм. Однако этими двумя свойствами представления оно не определяется однозначно (с точностью до разумной теоретико – категорной эквивалентности). Для того чтобы теоретико – категорно охарактеризовать каноническое представление, введем понятие факторизации. Морфизм факторизацией, если для любого морфизма такого, что , существует единственный морфизм такой, что диаграмма

Лемма. Если диаграмма коммутативна.

коммутативна и

и или и – факторизации, то все эти морфизмы – факторизации.□

Предложение 2. Пусть следующая диаграмма: