Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 10 из 49)

1

⎛

u Lp = ⎜⎜⎜⎜⎜⎝∫tT0 u t( ) pdt⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟p .

При p = ∞ под символом L^r_∞[t T₀, ] понимается пространство ограниченных измеримых функций, u :[t T₀, ]→ P ⊂ R^r с нормой

u _L∞ = ess t∈sup[t T0, ] U t( ) = inf supv_()⋅ t_∈[t T0, _] v t( ) ,

где v(⋅) пробегает множество всех измеримых функций, совпадающих с функцией u()⋅ почти всюду на отрезке [t T₀, ].

Класс допустимых программных стратегий должен удовлетворять следующему свойству: любую допустимую программную стратегию U()⋅ можно сколь угодно точно приблизить (в смысле сходимости в среднем

T ∫ u_s ( )t −U t dt( ) → 0, s → ∞ ) реализацией вектора управляющих параметров

t₀

u_s (t), s =1,2, , t ∈[t T₀, ].

В частности, пусть класс допустимых программных стратегий принадлежит пространству L t T^r_p [ 0, ], p ∈[1,∞]. Тогда указанное свойство следует из того, что множество непрерывных функций всюду плотно в L t T₁^r [ 0, ] [16 ].

В дальнейшем, если не оговорено противное, множество допустимых программных стратегий будем считать принадлежащим пространству суммируемых по Лебегу функций.

Определение 9. Движением динамического объекта на интервале времени [t T₀, ], выходящим из начального положения {t x₀, ₀}и порожденным допустимой программной стратегией U (⋅), называется функция x:[t T₀, ]→ Rⁿ , определенная равенством

t t

x( )t = X t t x[ , ₀] 0 +∫ X t[ ,τ] ( )B τ U( )τ τd +∫ X t[ ,τ] ( )C τ τd , t ∈[t T₀, ]. (1)

t0 t0

В общем случае интегралы в формуле (1) следует понимать в смысле Лебега. Движение объекта, определенное формулой (1), обозначим символом

x(⋅) = x(⋅,t x U₀, ₀, (⋅)).

Пусть {u_s ( )⋅ } - последовательность реализаций вектора управляющих воздействий, аппроксимирующая программное управление U ( )⋅ , и x_s ( )⋅ движение объекта, отвечающее реализации u_s (⋅), s =1,2, . Тогда справедлива оценка

tT

x( )t − x_s ( )t ∫ X t[ ,τ]B( )τ τ_⎣⎡U ( )−u_s ( )τ τ⎤_⎦d ≤ M ∫ U ( )τ −u_s ( )τ τd ,

t0t0

t ∈[t T₀, ], M = const .

Из нее следует, что последовательность функций ϕ_s (⋅), определенных формулой

ϕ_s ( )t =

x t( )− x_s (t) , t∈[t T₀, ], s =1,2,

равномерно сходится к нулю на отрезке времени [t T₀, ].

Таким образом, любое движение динамического объекта можно рассматривать как равномерный предел движений объекта, порожденных соответствующими допустимыми реализациями вектора управляющих воздействий. При этом оно принадлежит классу абсолютно непрерывных на промежутке [t T₀, ] функций и удовлетворяет на нем дифференциальному уравнению x = A t x( ) +B t U t( ) ( )+C t( )

почти всюду.

1.8. Постановка и существование решения задачи теории оптимального управления. Пусть заданы дифференциальные уравнения (1.2) движения динамического объекта, критерий качества (6.1), множество начальных и конечных моментов времени θ₀ ⊂ R¹, θ₁ ⊂ R¹, infθ₀ ≤ sup, θ₁ , область изменения вектора управляющих параметров P ⊂ R^r , ограничения на левый конец S₀ ( )t₀ ⊂ Rⁿ, t₀ ∈θ₀ и правый конец S T₁( ), T ∈θ₁ фазовой траектории динамического объекта, и допустимая программная стратегия U (⋅).

Определение 10. Набор (t T x U₀, , ₀, ( )⋅ ,x( )⋅ ) назовем допустимым, если t₀ ∈θ₀ , T ∈θ₁, t₀ <T, x( )⋅ = x(⋅,t x U₀, ₀, ( )⋅ ), x₀ ∈S₀(t₀), x(T)∈S₁(T) .

На множестве допустимых наборов посредством формулы (6.1) определим функционал I :(t T x U₀, , ₀, ( )⋅ , x( )⋅ ) → I t T x U[ ₀, , ₀, ( )⋅ , x( )⋅ ] и поставим следующую задачу.

Задача 1. Определить допустимый набор

такой, что для

любого другого допустимого набора (t T x U₀, , ₀, ( )⋅ ,x( )⋅ ) выполнялось бы неравенство

I ⎡_⎣t

T x U x ⎤_⎦ I t T x U x .

Допустимый набор

назовем решением задачи оптимального

управления, U ⁰ ( )⋅ – оптимальной программной стратегией, x⁰()⋅ – оптимальной траекторией. В задаче 1 требуется минимизировать функционал I . Случай максимизации функционала сводится к эквивалентной задаче минимизации функ-

ционала − I .

Сформулированная задача 1 оптимального управления динамическим объектом не всегда имеет решение. Покажем это на примере.

Пример 10. Рассмотрим управляемый динамический объект

¹ ⎧⎫

x = u, x∈R , u∈ −[ 1,1 ,] θ₀ ={ }0 , θ₁ = (0,+∞) , S₀ ={ }0 , S₁ ( )T = ⎨x= 0, T ∈θ₁⎬,

I[T,u(⋅)]= x(T). 1 Очевидно, что I T U⎡⎣ , ( )⋅ ⎤⎦ = T > 0. Для каждого Tˆ > 0 положим
⎧0, ⎪ u ˆ ( )t = ⎨ T ⎪⎩1	t ∈⎡t T0, ˆ⎤ , ⎣ ⎦ t >Tˆ.

⎩⎭

Траектория движения, отвечающая программному управле-

нию u_Tˆ (⋅), изображена на рис. 7.

Момент времени T окончания процесса в данном случае удов-

летворяет неравенству T >Tˆ , и

Рис. 7 1 1 поэтому < . Выбирая вели-

T Tˆ

чину T^ˆ достаточно большой, значение функционала I T u⎡_⎣ ^ˆ, _Tˆ ( )⋅ _⎦⎤ =

_T¹_ˆ можно сделать сколь угодно малым. Однако программной стратегии U ( )⋅ , для которой I T U⎡_⎣ , ( )⋅ ⎤_⎦ = 0, не существует в классе L t T^r_p [ 0, ], p ∈[1,∞]. Отсюда заключаем, что рассматриваемая задача оптимального управления решения не имеет. Для задачи теории оптимального управления

x = A t x( ) + B t u( ) +C t( ),

t

t T t t t T T T t T ,

x∈Rⁿ, u∈P ⊂ R^r , x₀ ∈S₀ (t₀ ) , t₀ ∈θ₀, x T( )∈S T₁ ( ) , T ∈θ₁ ,

I[t₀,T, x₀,u(⋅), x(⋅)]= Φ(t₀,T, x₀, x(T))

выведем достаточные условия существования ее решения в классе интегрируемых по Лебегу программных стратегий.

Теорема 5 (существование решения задачи теории оптимального управления).

Пусть выполнены следующие предположения:

1) множество P ⊂ R ^r компактно и выпукло;

2) множество Ξ = {e = (t₀ ,T, x₀ ,x_T)

x₀ ∈ S₀ (t₀ ), x_T ∈ S₁(T), t₀ ∈θ₀ , T ∈θ₁}⊂ R²⁽ⁿ⁺¹⁾ компактно;