Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 12 из 49)

Очевидно, что набор

является допустимым, и при этом

I_∗ = lims→∞ I t T⎡_⎣ 0^s , ^s , x U₀^s , ^s ( )⋅ , x^s ( )⋅ _⎦⎤ = lims→∞ Φ( t T₀^s , ^s ,x x₀^s , ^s (T ^s ))) = Φ( t T₀⁰, ⁰,x₀⁰, x⁰ (T ⁰ )) =

.

Теорема доказана.

1.9. Область достижимости линейного управляемого динамического объекта. Важной характеристикой управляемого объекта является его область достижимости. Пусть t₀ ∈θ₀ , x₀ ∈S₀ (t₀ ),T ∈θ₁. Символом Π[t T₀, ] обозначим множество всех допустимых программных стратегий вида U :[t T₀, ]→ P.

Определение 11. Множество

G t( ₀,x T₀, ) ={q = x T t( , ₀,x U₀, ( )⋅)

U ( )⋅ ∈Π[t T₀, ]} ⊂ Rⁿ

называется областью достижимости управляемого динамического объекта в момент времени T для начального положения {t₀, x₀}.

Теорема 6. Пусть множество P ⊂ R^r выпукло и компактно. Тогда область достижимости является выпуклым компактным множеством в пространст-

ве Rⁿ .

Доказательство. Из определения области достижимости для всякого q∈G t x T( ₀, ₀, ) следует существование программной стратегии U ( )⋅ ∈Π[t T₀ , ] такой, что

T T

q = X T t[ , ₀ ]x₀ + ∫ X T[ ,τ]B( )τ τ τU ( )d + ∫ X T[ ,τ τ τ]C( )d , (1)

t0 t0

где X[s,t], s,t∈[t₀,T]– фундаментальная матрица Коши, отвечающая однородному дифференциальному уравнению x = A(t)x, t∈[t₀,T]. Оценим по норме вектор q . Имеем

T T

q ≤ X T t[ , ₀ ] x₀ + ∫ X T[ ,τ] B( )τ τ τU ( ) d + ∫ X T[ ,τ τ τ] C( ) d .

t0 t0

В силу ограниченности множества P ⊂ Rⁿ из последнего неравенства вытекает ограниченность области достижимости. Пусть _q^~ – предельная точка области достижимости и {_q^{( )s} } → q q_, ^{( )s} ∈G t( ₀,x T₀, ). Из равенства (1) следует, что для всех s =1,2, будет справедливо

T T

q^{( )s} = X T t[ , ₀ ]x₀ + ∫ X T[ ,τ]B( )τ U ^{( )s} ( )τ τd + ∫ X T[ ,τ τ τ]C( )d , (2)

t0 t0

где _U ^(s) ( )⋅ ∈Π[t T₀, ]. В силу слабой компактности множества Π[t T₀, ] [16 ] из последовательности функций {U ^{( )s} ( )⋅ } можно извлечь подпоследовательность, слабо сходящуюся к функции U (⋅ ∈Π) [t T₀ , ]. Переходя к пределу по подходящей подпоследовательности индексов в (2), получаем равенство

T T

q_∗ = X T t[ , ₀ ]x₀ + ∫ X T[ ,τ]B( )τ τ τU ( )d + ∫ X [T,τ]C( )τ τd . (3)

t0 t0

Равенство (3) означает, что q_∗ ∈G t x T( ₀, ₀, ). Отсюда следует замкнутость области достижимости. Докажем ее выпуклость. Пусть q^{( )1} ,q^{( )2} ∈ ∈G t x T( ₀, ₀, ). Это означает, что существуют функции _U ⁽¹⁾ (⋅),_U ⁽²⁾ (⋅ ∈Π) [t T₀, ], для которых справедливы равенства

T T

q^{( )i} = X T t[ , ₀ ]x₀ + ∫ X T[ ,τ]B( )τ τ τU ^{( )i} ( )d +∫ X T[ ,τ τ τ]C( )d , i =1,2. (4)

t0 t0

Для любого α∈[0,1] положим q_α =α_q⁽¹⁾ + (1−α)_q⁽²⁾ . В силу (1) имеем

T T

_{α 0 0} ∫ X [T,τ] B( )τ α τ_⎣⎡ U ^{( )1} ( ) (+ 1−α)U ^{( )2} ( )τ τ⎤_⎦d + ∫ X T[ ,τ τ τ]C( )d . (5)

q = X T t[ , ]x +

t0 t0

Из выпуклости множества P следует, что α τ_U ⁽¹⁾ ( )+(1−α)_U ⁽²⁾ ( )τ ∈P для всех

τ∈[t T₀, ] . Это означает справедливость включения

αU ⁽¹⁾ ( ) (⋅ + 1−α)U ⁽²⁾ (⋅ ∈Π) [t T₀, ]. Тогда в силу (5) заключаем, что q_α∈G t x T( ₀, ₀, ). Таким образом, область достижимости выпукла. Теорема доказана.

Упражнения для самостоятельной работы

Даны дифференциальные уравнения движения управляемых линейных динамических объектов

x₁ = −3x₁ + 4x₂ − 6x₃ + u₁, x₁ = −2x₁ − 4x₂ − 60x₃ + u₁,

а) x₂ = x₁ − 2x₂ + 2x₃ + u₂, б) x₂ = −4x₁ − x₂ −51x₃ + u₂, x₃ = 2x₁ − x₂ + 3x₃ + u₃, x₃ = 2x₁ − 2x₂ + x₃ + u₃,

x₁ = 2x₁ + 4x₂ −16x₃ + u₁, x₁ = −3x₁ − x₂ −5x₃ +u₁,

в) x₂ = 2x₁ − x₂ + 21x₃ + u₂, г) x₂ = x₁ − x₂ +u₂, x₃ = −2x₁ − 2x₂ + x₃ + u₃, x₃ = x₁ + x₂ + 2x₃ +u₃.

1. Записать дифференциальные уравнения движения в матричной форме.

2. Для однородных систем линейных дифференциальных уравнений, соответствующих заданным неоднородным системам, построить фундаментальную матрицу Коши двумя способами: с использованием операции обращения матрицы и без использования. Убедиться в том, что оба метода строят одну и ту же матрицу. Проверить выполнение свойств (3.1)-(3.4) фундаментальной матрицы Коши.

3. Проверить справедливость формулы Коши (5.1) при следующих дополнительных данных:

⎛ ⎞1 ⎛−1⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

x =

а) 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠11 , t0 = 0,T =1, б) x0 = ⎜⎝⎜−11⎟⎠⎟, t0 = 0,T =1,

u₁ ( )t = sin ,t u₂ ( )t = cos ,t u₃ ( )t = e^t , u₁ ( )t = t u, ₂ ( )t = e^−t , u₃ ( )t = cos ,t

⎛ 1 ⎞ ⎛−1⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

в) x0 = −⎜⎜⎝ 11⎟⎠, t0 = 0,T =1, г) x0 = −⎜⎜⎝ 11⎠⎟⎟, t0 = 0,T =1,

⎟

u₁ ( )t = sin ,t u₂ ( )t = t², u₃ ( )t = e^t , u₁ ( )t = e u^t , ₂ ( )t = sin ,t u₃ ( )t = −cos .t

4. Вычислить критерии оптимальности для движений, отвечающих указанным в пункте 3 задания управлениям и выходящих из приведенных там же начальных положений

I u⎡⎣ ( )⋅ ⎤⎦ = I u⎡⎣ (⋅)⎤⎦ =

а)

б)

I u⎡⎣ ( )⋅ ⎤⎦ = I u⎡⎣ (⋅)⎤⎦ =

в)

г)

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ

ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАННЫМ

ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА

2.1. Случай закрепленного левого конца и свободного правого конца траектории. Рассматривается следующая задача теории оптимального управления.

Задача 1. Найти допустимую программную стратегию U ⁰ ( )⋅ ∈Π[t T₀, ], доставляющую минимум функционалу

I ⎡_⎣U (⋅)⎤_⎦ = Φ(x T( )), Φ∈C¹(R¹)

при ограничениях

x = A t x( ) + B t u( ) +C t( ), x∈Rⁿ, u∈P ⊂ R^r , θ₀ ={t₀},θ₁ ={T}, S₀ ={x₀}, S₁ = Rⁿ ,

где множество P ⊂ Rⁿ является выпуклым компактом.

По теореме 1.6 область достижимости G t( ₀,x T₀, ) является компактом в пространстве Rⁿ . Тогда в силу непрерывности функции Φ решение задачи 1 существует.