Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 16 из 49)
u ( )t =U tˆ ( ,ψ ( )t ) = ⎜ 0 ⎟ = ⎜ ∗ ∗ ⎟, t∈[0,π]. (9)
⎜ ψ2 ⎟ ⎜ c2 cost −c1 sint ⎟
⎜⎜ ψ102 ( )t +ψ202 ( )t ⎟⎟⎠ ⎜⎝ c1∗2 +c2∗2 ⎟⎠
⎝
Аналогично из (8) находим оптимальную траекторию
2 ⎜ +c4∗ cost − −c3∗ sint ⎟Ниже на рис. 2 приводятся графики изменения каждой из компонент вектора ψ0 ( )t от времени
Рис. 2
Из графиков видно, что вектор ψ0 (t) не является нулевым вектором на всем промежутке времени [t T0, ], и программное управление, удовлетворяющее условиям принципа максимума, единственное. В силу выпуклости функции Φ программное управление u0 ( )⋅ и движение объекта x0 (⋅), определенные равенствами (9) и (10) соответственно, являются оптимальными. Вычислим значение функционала на оптимальном управлении
I u⎡⎣
⎤⎦ x x . Для сравнения вычислим значение функционала на допустимом программном управлении
⎜ ⎟Имеем
I u⎡⎣ (⋅)⎤⎦ = 0.598124 .
Итак,
I u⎡⎣ ( )⋅ ⎤⎦ = 0.598124 > 0.56252 = I u⎡⎣ 0 (⋅)⎤⎦.
Оптимальная траектория объекта показана на рис. 3
Рис. 3
Заметим, что в соответствии с теоремой 3 функция Понтрягина
H t x( , 0 ( )t ,u0 ( )t ,ψ0 ( )t ) =ψ10 (t)(x20 (t)+u10 (t))+ψ20 (t)(−x10 ( )t +u20 ( )t ),
должна оставаться постоянной на всем промежутке времени [0,π]. Действительно, ниже на рис. 4 приводится график функции
H t x( , 0 (t),u0 (t),ψ0 (t)) =
⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ 0 ⎢ 0 ψ1 ( )t ⎥ 0 ⎢ 0 ψ2 ( )t ⎥
=ψ1 ( )t ⎢x2 ( )t + 2 2 ⎥ +ψ2 ( )t ⎢−x1 ( )t + 2 2 ⎥
⎢⎣ (ψ10 ( )t ) +(ψ20 ( )t ) ⎥⎦ ⎢⎣ (ψ10 ( )t ) +(ψ20 ( )t ) ⎥⎦3
2.5 2
1.5 1
0.5
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Рис. 4
который подтверждает факт постоянства функции Л.С. Понтрягина.
Случай 2. Геометрические ограничения на вектор управляющих параметров имеют вид
⎧ ⎛u1 ⎞⎫⎪ ⎜ ⎟r⎪
P = ⎨u = ⎜ ⎟∈Rαi ≤ ui ≤ βi ,i =1, ,r⎬ .
⎪⎩ ⎜⎝ur ⎟⎠⎪⎭
⎛Uˆ 1 (t,ψ)⎞
⎜ ⎟
Решением задачи (1.7) будет служить вектор U tˆ ( ,ψ) = ⎜ ⎟∈P , для которого
⎜⎜⎝Uˆ r (t,ψ)⎟⎟⎠
⎧
⎪ βi ,
⎪
Uˆ i (t,ψ) = ⎪⎨∀ui ∈[αβi , i ],
⎪
⎪
⎪ αi , ⎩
n
∑bki ( )t ψk > 0,
k=1
n
∑bki ( )t ψk = 0, i =1, ,r ,
k=1 n
∑bki ( )t ψk < 0.
k=1
Отсюда следует, что оптимальное управление u0 (t) =U tˆ ( ,ψ0 ( )t ), t ∈[t T0, ] имеет кусочно-постоянные компоненты. При дополнительных предположениях относительно матриц A и B можно дать оценку сверху для числа переключений каждой из компонент оптимального управления.
Теорема 4 (А. А. Фельдбаума). Пусть в задаче линейного быстродействия
A = const B, = const , множество P имеет вид (1), все собственные значения матрицы A - действительные числа и вектор-функция ψ0 (⋅) не является тривиальным решением сопряженной системы дифференциальных уравнений (1.3.7). Тогда каждая компонента оптимального управления u0 (t) =U tˆ ( ,ψ0 ( )t ), t ∈[t T0, ] имеет не более n −1 переключений, где n-размерность фазового вектора.
Доказательству теоремы предпошлем лемму.
Лемма 3. Пусть λ1, ,λm – действительные попарно различные числа, а f1, , fm – многочлены с действительными коэффициентами, имеющие степень k1, ,km , соответственно. Тогда функция F : R1 → R1, определенная форму-
лой
F(t) = f1(t)eλ1t + + fm (t)eλmt , t∈R1, (11)
имеет не более чем k1 + + km + m −1 корней.
Доказательство. Проведем индукцию по числу m . При m =1 лемма очевидно справедлива, ибо функция F тогда имеет вид F(t) = f1 (t)eλ1t , t ∈ R1 , ее действительные корни совпадают с действительными корнями полинома f1 и их число не более чем k1 . Предположим, что лемма уже доказана для случая, когда в формуле (11) содержится меньше чем m слагаемых.
От противного будем считать, что функция F имеет, по крайней мере, k1 + + km + m действительных корней. Построим функцию F1 : R1 → R1 по фор-
муле
F1(t) = F(t)e−λmt = f1(t)e(λ1−λm )t + + fm−1(t)e(λm−1−λm )t + fm (t), t∈R1.
Функции F и F1 имеют одни и те же действительные корни. Так как между каждыми двумя действительными корнями функции лежит, по крайней мере, один корень ее производной, то производная (km +1)-го порядка функции F1 имеет по крайней мере
(k1 + + km + m)−(km +1) = k1 + + km−1 + m−1
действительных корней. С другой стороны, эта производная имеет вид
F1(km+1)( )t = g1(t)e(λ1−λm )t + + gm−1(t)e(λm−1−λm )t , t∈R1 ,
где числа λ1 −λm , ,λm−1 −λm попарно различны, а степень многочлена gi равна ki ,i =1, ,m −1. Согласно предположению индукции функция F1(km +1) имеет не более
k1 + + km +(m−1)− =1 k1 + + km + m− 2
действительных корней, вопреки тому, что было установлено выше. Полученное противоречие завершает индукцию. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 4. Достаточно установить, что для всех
n
i =1, ,r функция Vi ( )⋅ = ∑bkiψk0 ( )⋅ имеет не более чем n −1 действительных
k=1
корней. Напомним, что вектор-функция ψ0 (⋅) является решением линейного дифференциального уравнения
ψ= −ATψ.
Каждое собственное число матрицы −AT представляет собой собственное число матрицы A, взятое с противоположным знаком, и поэтому является действительным числом. Тогда
ψk0 ( )t = g1k ( )t eλ1t + + gmk ( )t eλkt , t∈R1, k =1, ,n,
где λ1, ,λm – все попарно различные собственные значения матрицы −AT , а g jk ( )⋅ – многочлен степени rj −1, где rj – кратность корня λj , j =1, ,m, k =1, ,n. Таким образом,
V t
( ) = f ( )t eλt + + f ( )t eλmt , t∈R1, i =1, ,r . Здесь f ji – многочлен степени rj −1, j =1, ,m . По лемме 3 функция Vs (⋅) имеет не более чем
(r1 −1)+ + (rm −1)+ m −1= r1 + + rm −1= n −1
действительных корней. Теорема доказана.
Пример 3*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект
x1 = 2x1 + 2x2 −30x3 +u1, x2 =10x1 − x2 −35x3 +u2, x3 = 2x1 − x2 + x3 +u3,