Смекни!
smekni.com

Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 17 из 49)

u1 ⎞ ⎧ ⎛u1 ⎞ ⎫

⎜ ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ 3

u = ⎜u2 ⎟, uP = ⎨u = u2 R ui ≤1, i =1,2,3 ,⎬ x1 ( )0 = −3, x2 ( )0 = 2, x3 ( )0 =1;

u3 ⎟ Здесь

⎪ ⎩ u3 ⎟I U( )⋅ ⎤= x1 (1)+ 2x2 (1)− x3 (1) → min .

⎛ 2 ⎜

A = 10

⎜ 2 ⎝

2 −1 −1 −30⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ −35, B = 0 1 0, Φ( )x = x1 ( )1 + 2x2 ( )1 − x3 ( )1 . 1 ⎟⎠ ⎜⎝0 0 1⎟⎠

Сформулируем задачу математического программирования (1.7)

ψ1 1u +ψ ψ2u2 + 3u3 → min, ui ≤1, i =1,2,3

и решим ее. Функция (1.8) здесь имеет вид

ˆ ( ,ψ) = ⎜⎛⎜UUˆˆ12 ((tt,,ψψ))⎟⎟,Uˆi (t,ψ) = ⎪⎨⎧любоечислоsigni ], ψψii =<00,

U t

U

⎜⎝ ˆ3 (t,ψ)⎟⎟⎠ ⎩⎪⎪из−[0sign,1],[ψ ψi ], i > 0.

Система дифференциальных уравнений (1.10) и граничные условия (1.11) записываются так:

x1 = 2x1 + 2x2 −30x3 +Uˆ1 (t,ψ), x2 =10x1 x2 −35x3 +Uˆ2 (t,ψ), x3 = 2x1 x2 + x3 +Uˆ3 (t,ψ),

ψ1 = −2ψ ψ ψ1 −10 2 −2 3, ψ2 = −2ψ ψ ψ1 + 2 + 3, ψ3 = 30ψ ψ ψ1 +35 2 3,

x1 ( )0 = −3, x2 ( )0 = 2, x3 (0) =1, ψ1 (1) = −1,ψ2 (1) = −2,ψ3 ( )1 =1.

В данном примере сопряженная система дифференциальных уравнений интегрируется независимо от основной системы. В результате с учетом граничных условий получим вектор-функцию ψ0 (t), t ∈[0,1]

Ниже на рис. 5 приводятся графики зависимости компонент этой вектор-функции от времени

ψ1 ψ2

Рис. 5

Из приведенных графиков видно, что вектор ψ0 (t), t ∈[0,1] не является тождественным нулем. Тогда функция (8) определяется однозначно и представляет собой оптимальное программное управление. Компоненты

вектора ψ0 (t) знакопостоянны, поэтому для построения

оптимальной программной стратегии достаточно определить момент времени tˆ∈[0,1], в который происходит переключение первой компоненты вектора ψ0 ( )t . В результате решения уравнения ψ10 (t) = 0 приходим к равенству

tˆ = 0.741061.

Таким образом, оптимальное программное управление имеет вид

⎧ 1, t ∈⎡⎣0, tˆ),

произвольноечисло

u

t = ⎨ t = tˆ, , u
t u t

из[−1,1 ,]

⎩ −1, t ∈(tˆ,1 .⎤⎦

Подставим оптимальное управление в основную систему дифференциальных уравнений и проинтегрируем ее с соответствующими начальными условиями. В результате получим оптимальное движение x0 ( )t , t∈[0,1].

Вычислим значение функционала на оптимальном программном управле-

нии

I u0 ( )⋅ ⎤= x10 (1)+ 2x20 (1)− x30 (1) = −366.188

Для сравнения вычислим значение функционала на допустимом про-

⎛ 1 ⎞

граммном управлении u t( ) = −1, t∈[0,1]. Пусть x(⋅) = x(⋅,t x u0, 0, ( )⋅ ). Тогда ⎜⎝ 1 ⎟⎠

I u( )⋅ ⎤= x1 (1)+ 2x2 (1)− x3 (1) = −365.348.

Таким образом,

I u⎡⎣ ( )⋅ ⎤⎦ = −365.348 > −366.188 = I u⎡⎣ 0 (⋅)⎤⎦ .

Наконец, в соответствии с теоремой 3 проверим постоянство функции Понтрягина, вычисленной вдоль оптимальной пары (x0 (t),ψ0 ( )t ) на промежутке времени [0,1]. Действительно, ниже на рис. 6 приводится график функции

H t x( , 0 ( )t ,u0 ( )t 0 (t)) =ψ10 (t)(2x10 (t)+ 2x20 (t)−30x30 ( )t +u10 ( )t )+

20 ( )t (10x10 (t)− x20 ( )t −35x30 (t)+u20 (t))+ψ30 (t)(2x10 (t)− x20 (t)+ x30 ( )t +u10 ( )t ),

Рис. 6

который подтверждает факт постоянства функции Л.С. Понтрягина.

2.4. Минимизация расстояния до целевого множества. Рассмотрим частный случай задачи 1, исследованной в предыдущем пункте. Именно, будем предполагать, что функция Φ , определяющая критерий качества, имеет смысл евклидового расстояния от проекции фазового вектора на часть своих (k первых, k n) координат до некоторого выпуклого компактного множества M Rk .

Таким образом,

Φ( )x = ρ({ }x k ,M ) = minm Mρ({ }x k ,m) = minm Mm−{ }x k ,m−{ }x k , k n M, ⊂ Rk . Здесь символ {⋅}k означает проекцию вектора из пространства Rn на свои первые k n координат.

В дальнейшем множество M Rk будем называть целевым.

Проекцию области достижимости G t x T( 0, 0, ) ⊂ Rn на подпространство Rk обозначим символом {G t( 0,x T0, )}k . Предположим, что выполняется условие

{G t( 0,x T0, )}k M = ∅. Полагаем

ε0 = min{ε> 0

{G t( 0,x0 )}k Mε ≠ ∅},

где символом Mε обозначена замкнутая ε−окрестность целевого множества. Из компактности множества {G t( 0,x T0, )}k следует существование минимума в правой части последнего равенства и справедливость соотношения

ε0 = I U0 (⋅)⎤ > 0.

Вычислим величину ε0 . По теореме 1.30 [22] условие {G t( 0,x T0, )}k Mε ≠ ∅ будет иметь место тогда и только тогда, когда

G tmin0 0,x T, l q, ≤χ(M ε, ),l l S(0, 1)={s Rk s =1}.

q{ ( )}k

Здесь χ(Mε,⋅) - опорная функция множества Mε. Тогда

ε0 = min⎨⎧ε> 0min l q, ≤ χ(Mε, )l ∀ ∈l S (0, 1) . (1)

q{G t( 0 0,x T, )}k

В силу равенства

χ(M ε, )l = max m l, = +ε maxm M m l, m Mα

из (1) выводим, что

0 ⎡⎤

ε = l Smax∈ (0,1) ⎢⎣−maxm Mm l,+ q∈{G tmin( 0 0,x T, )}k q l, ⎦⎥ . (2) Пусть максимум в (2) достигается на векторе l0 S(0,1). Покажем, что вектор l0 S(0,1) определяется однозначно. Действительно, от противного приходим к существованию векторов l(1),l(2) S (0,1 ,) l(1) l(2) , для которых