⎛u1 ⎞ ⎧ ⎛u1 ⎞ ⎫
⎜ ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ 3⎪
u = ⎜u2 ⎟, u∈P = ⎨u = ⎜u2 ⎟∈R ui ≤1, i =1,2,3 ,⎬ x1 ( )0 = −3, x2 ( )0 = 2, x3 ( )0 =1; ⎜u3 ⎟⎠ ⎝ Здесь | ⎪ ⎩ | ⎜u3 ⎟⎠ ⎪⎭ ⎝ I U⎡⎣ ( )⋅ ⎤⎦ = x1 (1)+ 2x2 (1)− x3 (1) → min . |
⎛ 2 ⎜ A = ⎜10 ⎜ 2 ⎝ | 2 −1 −1 | −30⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ −35⎟, B = ⎜0 1 0⎟, Φ( )x = x1 ( )1 + 2x2 ( )1 − x3 ( )1 . 1 ⎟⎠ ⎜⎝0 0 1⎟⎠ |
Сформулируем задачу математического программирования (1.7)
ψ1 1u +ψ ψ2u2 + 3u3 → min, ui ≤1, i =1,2,3и решим ее. Функция (1.8) здесь имеет вид
ˆ ( ,ψ) = ⎜⎛⎜UUˆˆ12 ((tt,,ψψ))⎟⎞⎟,Uˆi (t,ψ) = ⎪⎪⎨⎧любоечислоsign[ψi ], ψψii =<00,
U t
⎜U
⎜⎝ ˆ3 (t,ψ)⎟⎟⎠ ⎩⎪⎪из−[0sign,1],[ψ ψi ], i > 0.
Система дифференциальных уравнений (1.10) и граничные условия (1.11) записываются так:
x1 = 2x1 + 2x2 −30x3 +Uˆ1 (t,ψ), x2 =10x1 − x2 −35x3 +Uˆ2 (t,ψ), x3 = 2x1 − x2 + x3 +Uˆ3 (t,ψ),
ψ1 = −2ψ ψ ψ1 −10 2 −2 3, ψ2 = −2ψ ψ ψ1 + 2 + 3, ψ3 = 30ψ ψ ψ1 +35 2 − 3,
x1 ( )0 = −3, x2 ( )0 = 2, x3 (0) =1, ψ1 (1) = −1,ψ2 (1) = −2,ψ3 ( )1 =1.
В данном примере сопряженная система дифференциальных уравнений интегрируется независимо от основной системы. В результате с учетом граничных условий получим вектор-функцию ψ0 (t), t ∈[0,1]
Ниже на рис. 5 приводятся графики зависимости компонент этой вектор-функции от времени
ψ1 ψ2
Рис. 5
Из приведенных графиков видно, что вектор ψ0 (t), t ∈[0,1] не является тождественным нулем. Тогда функция (8) определяется однозначно и представляет собой оптимальное программное управление. Компоненты
вектора ψ0 (t) знакопостоянны, поэтому для построенияоптимальной программной стратегии достаточно определить момент времени tˆ∈[0,1], в который происходит переключение первой компоненты вектора ψ0 ( )t . В результате решения уравнения ψ10 (t) = 0 приходим к равенству
tˆ = 0.741061.
Таким образом, оптимальное программное управление имеет вид
⎧ 1, t ∈⎡⎣0, tˆ),
⎪
⎪произвольноечисло
u
t = ⎨ t = tˆ, , u t u t⎪из[−1,1 ,]
⎪⎩ −1, t ∈(tˆ,1 .⎤⎦
Подставим оптимальное управление в основную систему дифференциальных уравнений и проинтегрируем ее с соответствующими начальными условиями. В результате получим оптимальное движение x0 ( )t , t∈[0,1].
Вычислим значение функционала на оптимальном программном управле-
нии
I u⎡⎣ 0 ( )⋅ ⎤⎦ = x10 (1)+ 2x20 (1)− x30 (1) = −366.188
Для сравнения вычислим значение функционала на допустимом про-
⎛ 1 ⎞
граммном управлении u t( ) = −⎜⎜ 1⎟⎟, t∈[0,1]. Пусть x(⋅) = x(⋅,t x u0, 0, ( )⋅ ). Тогда ⎜⎝ 1 ⎟⎠
I u⎡⎣ ( )⋅ ⎤⎦ = x1 (1)+ 2x2 (1)− x3 (1) = −365.348.
Таким образом,
I u⎡⎣ ( )⋅ ⎤⎦ = −365.348 > −366.188 = I u⎡⎣ 0 (⋅)⎤⎦ .
Наконец, в соответствии с теоремой 3 проверим постоянство функции Понтрягина, вычисленной вдоль оптимальной пары (x0 (t),ψ0 ( )t ) на промежутке времени [0,1]. Действительно, ниже на рис. 6 приводится график функции
H t x( , 0 ( )t ,u0 ( )t ,ψ0 (t)) =ψ10 (t)(2x10 (t)+ 2x20 (t)−30x30 ( )t +u10 ( )t )+
+ψ20 ( )t (10x10 (t)− x20 ( )t −35x30 (t)+u20 (t))+ψ30 (t)(2x10 (t)− x20 (t)+ x30 ( )t +u10 ( )t ),
Рис. 6
который подтверждает факт постоянства функции Л.С. Понтрягина.
2.4. Минимизация расстояния до целевого множества. Рассмотрим частный случай задачи 1, исследованной в предыдущем пункте. Именно, будем предполагать, что функция Φ , определяющая критерий качества, имеет смысл евклидового расстояния от проекции фазового вектора на часть своих (k первых, k ≤ n) координат до некоторого выпуклого компактного множества M ⊂ Rk .
Таким образом,
Φ( )x = ρ({ }x k ,M ) = minm M∈ ρ({ }x k ,m) = minm M∈ m−{ }x k ,m−{ }x k , k ≤ n M, ⊂ Rk . Здесь символ {⋅}k означает проекцию вектора из пространства Rn на свои первые k ≤ n координат.В дальнейшем множество M ⊂ Rk будем называть целевым.
Проекцию области достижимости G t x T( 0, 0, ) ⊂ Rn на подпространство Rk обозначим символом {G t( 0,x T0, )}k . Предположим, что выполняется условие
{G t( 0,x T0, )}k ∩ M = ∅. Полагаем
ε0 = min{ε> 0
{G t( 0,x0 )}k ∩ Mε ≠ ∅},где символом Mε обозначена замкнутая ε−окрестность целевого множества. Из компактности множества {G t( 0,x T0, )}k следует существование минимума в правой части последнего равенства и справедливость соотношения
ε0 = I U⎣⎡ 0 (⋅)⎦⎤ > 0.
Вычислим величину ε0 . По теореме 1.30 [22] условие {G t( 0,x T0, )}k ∩ Mε ≠ ∅ будет иметь место тогда и только тогда, когда
G tmin0 0,x T, l q, ≤χ(M ε, ),l ∀ l ∈ S(0, 1)={s ∈ Rk s =1}.q∈{ ( )}k
Здесь χ(Mε,⋅) - опорная функция множества Mε. Тогда ε0 = min⎨⎧ε> 0min l q, ≤ χ(Mε, )l ∀ ∈l S (0, 1) ⎫⎬ . (1)⎩q∈{G t( 0 0,x T, )}k ⎭
В силу равенства
χ(M ε, )l = max m l, = +ε maxm M m l, m M∈ α∈из (1) выводим, что
0 ⎡⎤ ε = l Smax∈ (0,1) ⎢⎣−maxm M∈m l,+ q∈{G tmin( 0 0,x T, )}k q l, ⎦⎥ . (2) Пусть максимум в (2) достигается на векторе l0 ∈S(0,1). Покажем, что вектор l0 ∈S(0,1) определяется однозначно. Действительно, от противного приходим к существованию векторов l(1),l(2) ∈S (0,1 ,) l(1) ≠ l(2) , для которых