q∈{G t( 0 0,x T, )}
k
= −max m l, ( )2 + min q l, ( )2 .
q∈{G t( 0 0,x T, )}
k
Сложим эти равенства почленно
≤ −max m l, ( )1 +l( )2 + min q l, ( )1 +l( )2 (3)
m M∈q∈{G t( 0 0 k
Из неравенства (3) следует, что l(1) ≠ −l(2) , а из условия l(1) ≠ l(2) следует, что
l( )1 +l( )2 < 2. Полагаем(1) (2)
∗ l +l
l = ( )1 ( )2 ∈S(0,1). l +lТогда из (3) выводим
2ε0 0
ε <≤ −max m, l( )1 +l( )2 m M∈q∈{G t( 0 0,x T, )}k
−maxm M∈ m l, ∗ + q∈{G tmin( 0 0,x T, )}k q l, ∗ ≤ l Smax∈ (0,1) ⎡⎢⎣−maxm M∈ m l, + q∈{G tmin( 0 0,x T, )}k q l, ⎤⎦⎥ =ε0 .Получили противоречие, которое и доказывает единственность максими-
зирующего вектора l0 ∈S(0,1).
Геометрическая интерпретация полученного результата (см. рис. 7) состоит в том, что вектор l0 является опорным к множеству M , а вектор −l0 -
опорным к множеству {G t( 0,x0 )}k .
Используя формулу Коши, придадим равенству (2) другую форму
ε0 =
⎡T T ⎫⎪⎤⎥ = = max ⎢−max m l, +X T t[ , 0 ]x0 + ∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( ) ( )u d + ∫ X t[ ,τ τ τ]C( )d ⎬⎥l=1 ⎢ m M∈t0 t0 ⎪⎭k⎦
⎣
⎡T T
= max ⎢−max m l, +X T t[ , 0 ]x0 + ∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( ) ( )u d + ∫ X t[ ,τ τ τ]C( )d , l∗ ⎥ =l=1 m M∈
⎢⎣t0 t0
⎡T
= max1 ⎢−max m l, + X T t[ , 0 ]x l0, ∗ + ∫ X T[ ,τ]B( ) ( )τ τu , l∗ dτ+ l= m M∈⎢⎣ t0
⎡
= max ⎢−max m l,
l=1 m M∈ u P∈⎢⎣
T +∫C( )τ , XТр[T,τ τ]l∗d . (4)t0
⎛ l ⎞
⎜ ⎟
Здесь обозначено l∗ = ⎜ 0 ⎟∈Rn .
⎜ ⎟
⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠
Теорема 5. Пусть ε0 > 0 и U 0 (⋅ ∈Π) [t T0, ] - оптимальная программная стратегия. Тогда
B( )t U 0 ( )t , XТр[T t l, ] 0∗ = min B t u( ) , XТр[T t l, ] 0∗ (5)
u P∈
⎛l0 ⎞
⎜ ⎟
при почти всех t ∈[t T0, ], где l0∗ = ⎜ 0 ⎟∈Rn .
⎜ ⎟
⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠
Доказательство. Допустим, что условие (5) нарушается. Тогда существует множество T ∈[t T0, ] ненулевой меры, на котором выполняется неравенствоB(t U) 0 ( )t , XТр[T t l, ] 0∗> minB t u( ) , XТр[T t l, ] 0∗, t∈T .
u P∈
Из последнего соотношения вытекает, что T T ∫B( )τ U 0 ( )τ , XТр[T,τ τ]l0∗d > ∫minu P∈B( ) ( )τ τu , XТр[T,τ τ]l0∗d . (6)t0 t0
Подставим вектор l0 ∈S(0,1) в правую часть равенства (4). Имеем T 0 = −max m l, 0 + x0, XТр[T t l, 0 ] 0∗+ ∫minB( ) ( )τ τu , XТр[T,τ τ]l0∗d +t0 u P∈
T+∫C( )τ , XТр[t,τ τ]l0∗d .
t0
С учетом неравенства (6) выводим
ε0 = I U⎡⎣ 0 ( )⋅ ⎤⎦ = ρ({x0 ( )T }k ,M ) = maxl=1 ⎣⎢⎡−maxm M∈ m l, + {x0 ( )T }k ,l⎦⎥⎤ = l1 ⎡⎢−max m l, X T t[ , 0 ]x0 + tT∫0 X T[ ,τ τ τ τ]B( )U 0 ( )d + tT∫0 X t[ ,τ τ τ]C( )d ⎪⎬⎫k⎥⎤⎥ ≥= max
= ⎢⎣⎪⎭⎦
T 0 T ⎫⎪
≥ −max m l, X T t[ , 0 ]x0 + ∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( )U ( )d + ∫ X t[ ,τ τ τ]C( )d ⎬ , l=
t0 t0 ⎪⎭k
T T
= −max m l, X T t[ , 0 ]x0 + ∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( )U 0 ( )d + ∫ X t[ ,τ τ τ]C( )d , l0∗
t0 t0