Смекни!
smekni.com

Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 18 из 49)

= −max m l, ( )1 + min q l, ( )1 ,

q{G t( 0 0,x T, )}

k

= −max m l, ( )2 + min q l, ( )2 .

q{G t( 0 0,x T, )}


k

Сложим эти равенства почленно


0 = −max m l, ( )1 + min q l, ( )1 − max m l, + min q l, ( )2
m Mq{G t( 0 0,x T, )}k m Mq{G t( 0 0,x T, )}

≤ −max m l, ( )1 +l( )2 + min q l, ( )1 +l( )2 (3)

m Mq∈{G t( 0 0 k

Из неравенства (3) следует, что l(1) ≠ −l(2) , а из условия l(1) l(2) следует, что

l( )1 +l( )2
< 2. Полагаем

(1) (2)

l +l

l = ( )1 ( )2 ∈S(0,1). l +l

Тогда из (3) выводим

2ε0 0

ε <≤ −max m, l( )1 +l( )2 m M

+ min=

q∈{G t( 0 0,x T, )}k

−maxm Mm l, ∗ + q∈{G tmin( 0 0,x T, )}k q l, ∗ ≤ l Smax∈ (0,1) ⎡⎢⎣−maxm Mm l, + q∈{G tmin( 0 0,x T, )}k q l, ⎤⎦⎥ =ε0 .

Получили противоречие, которое и доказывает единственность максими-

зирующего вектора l0 S(0,1).

Геометрическая интерпретация полученного результата (см. рис. 7) состоит в том, что вектор l0 является опорным к множеству M , а вектор −l0 -

опорным к множеству {G t( 0,x0 )}k .

Используя формулу Коши, придадим равенству (2) другую форму

ε0 =

T T ⎪⎤⎥ =

= max ⎢−max m l, +X T t[ , 0 ]x0 + ∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( ) ( )u d + ∫ X t[ ,τ τ τ]C( )d ⎬⎥

l=1 ⎢ m Mt0 t0 ⎪⎭k

T T

= max ⎢−max m l, +X T t[ , 0 ]x0 + ∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( ) ( )u d + ∫ X t[ ,τ τ τ]C( )d , l⎥ =

l=1 m M

⎢⎣t0 t0

T

= max1 ⎢−max m l, + X T t[ , 0 ]x l0,
+ ∫ X T[ ,τ]B( ) ( )τ τu , ldτ+ l= m M

⎢⎣ t0

= max ⎢−max m l,

l=1 m Mu P

⎢⎣

T

+∫C( )τ , XТр[T,τ τ]ld . (4)

t0

l

⎜ ⎟

Здесь обозначено l= 0 Rn .

⎜ ⎟

⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠

Теорема 5. Пусть ε0 > 0 и U 0 (⋅ ∈Π) [t T0, ] - оптимальная программная стратегия. Тогда

B( )t U 0 ( )t , XТр[T t l, ] 0
= min
B t u( ) , XТр[T t l, ] 0
(5)

u P

l0

⎜ ⎟

при почти всех t ∈[t T0, ], где l0= 0 Rn .

⎜ ⎟

⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠

Доказательство. Допустим, что условие (5) нарушается. Тогда существует множество T ∈[t T0, ] ненулевой меры, на котором выполняется неравенство

B(t U) 0 ( )t , XТр[T t l, ] 0> minB t u( ) , XТр[T t l, ] 0, tT .

u P

Из последнего соотношения вытекает, что

T T

B( )τ U 0 ( )τ , XТр[T,τ τ]l0d > ∫minu PB( ) ( )τ τu , XТр[T,τ τ]l0d . (6)

t0 t0

Подставим вектор l0 S(0,1) в правую часть равенства (4). Имеем

T

0 = −max m l, 0 + x0, XТр[T t l, 0 ] 0+ ∫minB( ) ( )τ τu , XТр[T,τ τ]l0d +

t0 u P

T

+∫C( )τ , XТр[t,τ τ]l0d .

t0

С учетом неравенства (6) выводим

ε0 = I U0 ( )⋅ ⎤= ρ({x0 ( )T }k ,M ) = maxl=1 ⎣⎢−maxm Mm l, + {x0 ( )T }k ,l⎦⎥ = l1 ⎡⎢−max m l, X T t[ , 0 ]x0 + tT0 X T[ ,τ τ τ τ]B( )U 0 ( )d + tT0 X t[ ,τ τ τ]C( )d ⎬⎫k⎥⎤⎥ ≥

= max

= ⎪⎭


T 0 T

≥ −max m l, X T t[ , 0 ]x0 + ∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( )U ( )d + ∫ X t[ ,τ τ τ]C( )d ⎬ , l=

t0 t0 ⎪⎭k

T T

= −max m l, X T t[ , 0 ]x0 + ∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( )U 0 ( )d + ∫ X t[ ,τ τ τ]C( )d , l0

t0 t0