Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 19 из 49)

T

+ x₀, X^Тр[T t l, ₀ ] ^0∗ + ∫ B( )τ U ⁰ ( )τ , X^Тр[T,τ τ]ld +

t₀

C( )τ , X^Тр[t,τ τ]l^0∗d > −max m l, ⁰ + x₀, X^Тр[T t l, ₀ ] ^0∗+

m M∈

0

T T

+∫minu P∈ B( )τ u X, ^Тр[T,τ τ]l^0∗ d + ∫ C( )τ , X^Тр[t,τ τ ε]l^0∗ d = ⁰ .

t0 t0

Получили противоречие. Теорема доказана.

Очевидно (см. рис. 7), что

0 {x⁰ ( )^T }k −m₀ l =.

{x⁰ ( )T }k −m₀

Представим функцию Φ в виде

Φ( )x = minm M∈ { }x _k −m,{ }x _k −m =

= { }x _k −m⁰ ( ) { }x , x _k −m⁰ ( )x ,

Рис. 7 x∈Rn .

Из теоремы 3 следует, что

⎧∂Φ(x)⎫

⎨ ⎬ =

⎩ ∂x ⎭k

⎧ ∂ ⎫ {x} −m⁰ (x) {x} −m⁰ ( )x

= ⎨ { }x _k −m,{ }x _k −m m m= 0 x ⎬ = 0 ^k 0 = ^k 0 = l⁰ .

⎩∂x ( ) ⎭k { }x k −m ( ) { }x , x k −m ( )x { }x k −m ( )x

При x = x⁰ ( )T отсюда выводим

⎧_⎪∂Φ(x⁰ ( )T )⎫_⎪ {x⁰ (T )}k −m⁰ (x⁰ (T )) 0 ∂Φ(x⁰ ( )T ) 0∗

⎨ ⎬ = 0 0 0 = l ⇒ = l .

⎪⎩ ∂x ⎪⎭k {x ( )T }k −m (x ( )T ) ∂x

Тогда условие (5) эквивалентно следующему:

^{0 ТрТр} ∂Φ(x⁰ ( )T )

B( )t U ( )t , −X [T t, ]= maxB t u( ) , −X [T t, ], t∈[t T₀, ].

u P∈∂x

В силу равенства

0 Тр ∂Φ(x0 (T ))

ψ ( )t = −X [T t, ] , t∈[t T₀, ]

∂x

необходимые условия оптимальности программного управления, доказанные в теореме 6, совпадают с аналогичными условиями принципа максимума Л.С. Понтрягина (теорема 1). Из теоремы 5 также следует, что если величина Φ(x⁰ ( )T ), вычисленная в результате интегрирования исходной системы дифференциальных уравнений после подстановки в нее программного управления, определенного из условия (4), совпадает с величиной ε⁰ , вычисленной по формуле (5), то это программное управление является оптимальным.

Пример 4. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект из примера 1. Терминальный критерий качества Φ( )x = x₁² +(x₂ −2)²можно трактовать как расстояние в конечный момент времени от фазового вектора

⎛ ⎞0 до точки m = ⎜ ⎟. Для данного примера выполнены равенства

⎝ ⎠2

⎛1 k = 2, X t[ ,τ] = ⎜ ⎝0 Последовательно вычисляем

0⎞ ⎟, 1⎠

⎛1 B t( ) = ⎜ ⎝0 T

0⎞ 0∗ 0 ⎟ , l = l . 1⎠

∫minu P∈ X T[ ,τ τ]B( )u l d, ⁰ τ=

t₀

⎤ ⎡ ¹ ⎤

dτ⎥ = ^maxl=1 ⎢−2l₂ − ∫( l₁ + l₂ )d^τ⎥ =

⎦⎥⎣ 0 ⎦

⎛l₁⁰ ⎞ ⎛ 0 ⎞

=1 ⎤ =1, ⎜ ₀ ⎟ = ⎜ ⎟ . l ⎝l₂ ⎠ ⎝−1⎠

Необходимые условия оптимальности программного управления здесь принимают вид

u

t sign l u t sign l t . (7)

В силу l₁⁰ = 0 условия(7) определяют программную стратегию неоднозначно. В частности, им удовлетворяет стратегия

U

t u d t .

⎝ 1 ⎠ 0

При этом

I U_⎣⎡ ⁰ (⋅⁾_⎦⎤ =1=ε⁰ .

Следовательно, стратегия U ⁰ (⋅) является оптимальной.

Приведем последовательность действий по решению задачи управления динамической системой на основе теоремы 5.

В начале строится фундаментальная матрица Коши для однородной системы дифференциальных уравнений и вычисляется опорная функция χ(M, )⋅ целевого множества M по формуле

χ(M l, ) = maxm M_∈ m l, , l ∈ S(0,1).

Далее для произвольного l ∈S(0,1) решается задача математического программирования

⎛ l ⎞

⎜ ⎟

^{Tр Тр} 0

B ( )t X [T t, ]^{⎜ ⎟}, u→ min, u∈P. (8)

⎜ ⎟

⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠

По теореме Вейерштрасса минимум в левой части равенства (8) существует для любой пары (t l, )∈[t T₀, ]×S(0,1). Таким образом, определена векторфункция

Uˆ :[t T₀, ]×S (0,1) → P, (9)

которая каждой паре (t l, )∈[t T₀, ]×S(0,1) ставит в соответствие вектор U t l^ˆ ( , )∈P , доставляющий минимум в условии (8). Явная запись этой функции возможна для частных случаев управляемой системы, рассмотренных в предыдущем пункте. Пусть функция U^ˆ уже построена. Тогда приходим к следующей задаче математического программирования:

⎛ l ⎞⎛ l ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟

^Тр 0^{Tр Тр} 0 ε( )l = −χ(M l, )+[T t, ₀ ]^{⎜ ⎟} U (τ,l), B ( )t X [T,τ]^{⎜ ⎟}dτ+

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠

C( )τ , X^Тр[dτ→ max , l=1. (10)

Эта задача всегда имеет решение, а в случае когда ε ε⁰ = ( )l⁰ > 0 , ее решение единственное. Заметим, что приведенная задача математического программирования осложнена наличием определенных интегралов в выражении для целевой функции. Эти интегралы обычно не берутся

аналитически даже, если функция U^ˆ определена явно.

Пусть ε⁰ > 0 и l⁰ ∈S(0,1) - максимизирующий вектор. Тогда программное управление, удовлетворяющее необходимому условию оптимальности, определяется по формуле

U ⁰ (⋅) =U^ˆ (⋅,l⁰ ). (11)

После подстановки этого управления в исходные дифференциальные уравнения движения объекта, последние могут быть проинтегрированы с заданными начальными условиями. Далее проверяется справедливость равенства

ε⁰ = I U⎡_⎣ ⁰ (⋅)⎤_⎦ .

В случае его выполнения программная стратегия, определенная равенством (11), является оптимальной.