Смекни!
smekni.com

Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 2 из 49)

x1 = a11(t x) 1 + +" a1n (t x) n +b11(t u) 1 + +" b1r (t u) r +c t1( ),

.......................................................................................... (1)

xn = an1(t x) 1 + +" ann (t x) n +bn1(t u) 1 + +" bnr (t u) r +cn (t),

где aij = aij (t), bik = bik ( )t , ci = c ti ( ), t R i j1, , =1,", ,n k =1,",r - известные непрерывные функции времени.

Система дифференциальных уравнений (1) допускает векторноматричную запись

x = A t x( ) +B t u( ) +C t( ). (2)

Здесь обозначено

⎛⎜ x

x = ⎜⎜⎜⎜⎜⎜"x1n⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, u =⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜"uu1r ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, A t( )= ⎜⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜aa11n"1( )( )tt """ aa1nn"n ( )( )tt ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, B t( )=⎜⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜bb11n"1( )( )tt """ bb1nr"r ( )( )tt ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, C t( )=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜cc t1n"( )( )t ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

Векторы xRn и uRr называются фазовым вектором и вектором управляющих параметров объекта, соответственно.

Система дифференциальных уравнений (1), или ее векторно-матричная форма (2), является математической моделью (с той или иной степенью точности) реального управляемого физического объекта. В дальнейшем эту математическую модель будем называть линейным управляемым динамическим объектом. Следуя [17], приведем примеры линейных управляемых динамических объектов.

Пример 1. Рассмотрим материальную точку массы m , движущуюся в вертикальной плоскости ξ η, в однородном поле тяжести (см. рис. 1). Управ-

ляющее воздействие на точку M осуществляет-

ся посредством реактивной силы f , возникающей в результате отделения от точки частиц с элементарной массой dm . Тогда масса точки M является величиной переменной, а движение точки описывается векторным дифференциальным

ξ уравнением Мещерского

Рис. 1

m dv = +mg dm ar , (3) dt dt

где ar - вектор относительной скорости отде-

ляющихся частиц. Проектируя уравнение (3) на оси выбранной системы координат, получим

= ma cosαξ, (4) = ma cosαη mg.

Здесь α αξ, η - углы, которые составляет вектор относительной скорости отделяющихся частиц с соответствующими координатными осями. Запишем систему (4) в нормальной форме

x1 = x3,

x2 = x4, (5) x3 = u1, x4 = u2 g,

где

x1 = = = = =ξ, x2 η, x3 ξ, x4 η, u1 a m cosαξ, u2 = a mm cosαη . m

Векторно-матричная форма системы дифференциальных уравнений (5) имеет вид

⎛⎜⎜x ⎞⎟

⎜⎜⎜x

⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜xx1243⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛0000 0000 1000 1000⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xxxx1243⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟+⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1000 1000⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜⎝⎜⎜⎛uu12 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟+⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜−000g⎟⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎟.

Обычно физический объект можно моделировать линейными дифференциальными уравнениями лишь в дополнительных предположениях об области изменения его фазовых координат.

Пример 2. Рассмотрим упругий вал, несущий жестко насаженные маховики A B, и C (см. рис. 2). Система вращается вокруг оси вала с постоянной угловой скоростью ω , однако вследствие возмущений возникают крутильные колебания, которые необходимо успокоить управ-

ляющими моментами u u1, 2 , приложенными к ма-

ховикам A и C соответственно. Система имеет три степени свободы. В качестве обобщенных координат выбираются следующие величины: q2 - угол отклонения маховика B от заданного движения системы ψ(t)=ωt t, ≥t0; q q1, 3 - суть углы закручивания маховиков A и C соответственно относительно маховика B .

Пусть IA,IB,IC - моменты инерции маховиков. Вычислим кинетическую энергию всей системы. Имеем

T = 12 IA (ω+ + +q1 q2 )2 12 IB (ω+ +q2 )2 12 IC (ω+ +q3 q2 )2 .

Обозначим через c c1, 2 крутильные жесткости соответствующих участков вала. Принимаем, что система работает в пределах деформаций, подчиняющихся закону Гука. Тогда потенциальная энергия системы определяется равенством

Π = 12 c q1 12 + 12 c q2 32 .

Из выражения для элементарной работы

δA=Q q1δ 1 +Q q2δ 2 +Q q3δ 3 = + +u q1δ 1 (u1 u2 )δq2 +u q2δ 3

следует, что обобщенные силы Q ii, =1,2,3 выражаются равенствами

Q1 = u Q1, 2 = +u1 u2,Q3 = u3 .

Составим уравнения Лагранжа

d ⎛⎜⎜T ⎞⎟

dt⎜⎜⎝∂qi ⎠⎟⎟⎟−∂qTi =Qi ∂Πqi , i =1,2,3.

Получаем следующие три дифференциальных уравнения второго порядка:

I qA1 + =I qA2 −c q1 1 +u1,

IAq1 + + +(IA IB IC )q2 + = +I qC 3 u1 u2, (6)

I qC 2 + =I qC 3 −c q2 3 +u2.

Разрешим систему дифференциальных уравнений (6) относительно старших производных

q1 = − c1(IA + IB )q1 − c2 q3 +
1 u1,

I IA B IB IA

q2 = +c1 q1 c2 q3, (7)

IB IB q3 = − c1 q1 − c2 (IB + IC )q3 + 1 u2.

IB IB + IC IC

Проведя замену переменных

x1 = q1, x2 = q2, x3 = q3, x4 = q1, x5 = q2, x6 = q3 ,

запишем систему (7) в нормальной форме

x1 = x4, x2 = x5, x3 = x6,

x4 = − c1 (IA + IB ) x1 − c2 x3 +
1 u1,

I IA B IB IA

x5 = +c1 x1 c2 x3,

IB IB

x6 = − c1 x1 − c2 (IB + IC ) x3 + 1 u2. (8)

IB IB +IC IC

Векторно-матричная форма системы дифференциальных уравнений (8) имеет вид

⎜⎜⎜⎜⎛ 00 00 00 10 10 00⎞⎟⎟⎟⎟⎟ ⎜⎛ 0 0 ⎞

⎟⎟ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ 0 0 0 0 0 1⎟⎟⎟⎟⎜⎛ x

⎜⎜⎜xx ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜⎜⎜− c (II I+ I ) 0 − Ic 0 0 0⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xx ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎟