x1 = a11(t x) 1 + +" a1n (t x) n +b11(t u) 1 + +" b1r (t u) r +c t1( ),
xn = an1(t x) 1 + +" ann (t x) n +bn1(t u) 1 + +" bnr (t u) r +cn (t),
где aij = aij (t), bik = bik ( )t , ci = c ti ( ), t ∈ R i j1, , =1,", ,n k =1,",r - известные непрерывные функции времени.
Система дифференциальных уравнений (1) допускает векторноматричную запись
x = A t x( ) +B t u( ) +C t( ). (2)
Здесь обозначено
⎛⎜ x ⎞
x = ⎜⎜⎜⎜⎜⎜"x1n⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, u =⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜"uu1r ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, A t( )= ⎜⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜aa11n"1( )( )tt """ aa1nn"n ( )( )tt ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, B t( )=⎜⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜bb11n"1( )( )tt """ bb1nr"r ( )( )tt ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, C t( )=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜cc t1n"( )( )t ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.
⎝
Векторы x∈ Rn и u∈ Rr называются фазовым вектором и вектором управляющих параметров объекта, соответственно.
Система дифференциальных уравнений (1), или ее векторно-матричная форма (2), является математической моделью (с той или иной степенью точности) реального управляемого физического объекта. В дальнейшем эту математическую модель будем называть линейным управляемым динамическим объектом. Следуя [17], приведем примеры линейных управляемых динамических объектов.
Пример 1. Рассмотрим материальную точку массы m , движущуюся в вертикальной плоскости ξ η, в однородном поле тяжести (см. рис. 1). Управ-
ляющее воздействие на точку M осуществляет-
ся посредством реактивной силы f , возникающей в результате отделения от точки частиц с элементарной массой dm . Тогда масса точки M является величиной переменной, а движение точки описывается векторным дифференциальнымξ уравнением Мещерского
Рис. 1
m dv = +mg dm ar , (3) dt dt где ar - вектор относительной скорости отде-ляющихся частиц. Проектируя уравнение (3) на оси выбранной системы координат, получим
mξ= ma cosαξ, (4) mη= ma cosαη −mg.
Здесь α αξ, η - углы, которые составляет вектор относительной скорости отделяющихся частиц с соответствующими координатными осями. Запишем систему (4) в нормальной форме
x1 = x3,
x2 = x4, (5) x3 = u1, x4 = u2 − g,
где
x1 = = = = =ξ, x2 η, x3 ξ, x4 η, u1 a m cosαξ, u2 = a mm cosαη . mВекторно-матричная форма системы дифференциальных уравнений (5) имеет вид
⎛⎜⎜x ⎞⎟
⎜⎜⎜x
⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜xx1243⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛0000 0000 1000 1000⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xxxx1243⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟+⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1000 1000⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜⎝⎜⎜⎛uu12 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟+⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜−000g⎟⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎟.
Обычно физический объект можно моделировать линейными дифференциальными уравнениями лишь в дополнительных предположениях об области изменения его фазовых координат.Пример 2. Рассмотрим упругий вал, несущий жестко насаженные маховики A B, и C (см. рис. 2). Система вращается вокруг оси вала с постоянной угловой скоростью ω , однако вследствие возмущений возникают крутильные колебания, которые необходимо успокоить управ-
ляющими моментами u u1, 2 , приложенными к ма-
ховикам A и C соответственно. Система имеет три степени свободы. В качестве обобщенных координат выбираются следующие величины: q2 - угол отклонения маховика B от заданного движения системы ψ(t)=ωt t, ≥t0; q q1, 3 - суть углы закручивания маховиков A и C соответственно относительно маховика B .
Пусть IA,IB,IC - моменты инерции маховиков. Вычислим кинетическую энергию всей системы. Имеем
T = 12 IA (ω+ + +q1 q2 )2 12 IB (ω+ +q2 )2 12 IC (ω+ +q3 q2 )2 .
Обозначим через c c1, 2 крутильные жесткости соответствующих участков вала. Принимаем, что система работает в пределах деформаций, подчиняющихся закону Гука. Тогда потенциальная энергия системы определяется равенством
Π = 12 c q1 12 + 12 c q2 32 .
Из выражения для элементарной работы
δA=Q q1δ 1 +Q q2δ 2 +Q q3δ 3 = + +u q1δ 1 (u1 u2 )δq2 +u q2δ 3
следует, что обобщенные силы Q ii, =1,2,3 выражаются равенствами
Q1 = u Q1, 2 = +u1 u2,Q3 = u3 .
Составим уравнения Лагранжа
d ⎛⎜⎜∂T ⎞⎟dt⎜⎜⎝∂qi ⎠⎟⎟⎟−∂∂qTi =Qi −∂Π∂qi , i =1,2,3.
Получаем следующие три дифференциальных уравнения второго порядка:
I qA1 + =I qA2 −c q1 1 +u1,
IAq1 + + +(IA IB IC )q2 + = +I qC 3 u1 u2, (6)
I qC 2 + =I qC 3 −c q2 3 +u2.
Разрешим систему дифференциальных уравнений (6) относительно старших производных
q1 = − c1(IA + IB )q1 − c2 q3 + 1 u1,I IA B IB IA
q2 = +c1 q1 c2 q3, (7)
IB IB q3 = − c1 q1 − c2 (IB + IC )q3 + 1 u2.IB IB + IC IC
Проведя замену переменных
x1 = q1, x2 = q2, x3 = q3, x4 = q1, x5 = q2, x6 = q3 ,
запишем систему (7) в нормальной форме
x1 = x4, x2 = x5, x3 = x6,
x4 = − c1 (IA + IB ) x1 − c2 x3 + 1 u1,I IA B IB IA
x5 = +c1 x1 c2 x3,
IB IB
x6 = − c1 x1 − c2 (IB + IC ) x3 + 1 u2. (8)IB IB +IC IC
Векторно-матричная форма системы дифференциальных уравнений (8) имеет вид
⎜⎜⎜⎜⎛ 00 00 00 10 10 00⎞⎟⎟⎟⎟⎟ ⎜⎛ 0 0 ⎞
⎜
⎟⎟ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ 0 0 0 0 0 1⎟⎟⎟⎟⎜⎛ x ⎞⎜⎜⎜xx ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜⎜⎜− c (II I+ I ) 0 − Ic 0 0 0⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xx ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎟
⎟