Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 21 из 49)

0

3 e−(1−τ⁾ (− +1 e6 1( −τ⁾ )^l₁ + 1₂ e−(1−τ⁾ (1+ e6 1( −τ⁾ )^{l d}₂τ.

0

Функция U^ˆ , доставляющая минимум в выражении (8), определяется формулой

^ˆ ( , ) ⁼ ⎛^⎜⎝⎜^⎜−−signsign⎡⎣⎡^⎣ 1₂³2 ee−−((11−−ττ)) ((1− ++1e6 1e( 6 1−(τ−)τ))l1)l+₁ +16 e1₂−_e(1−−(τ1)−τ()− +(1₁₊e_e6 16 1(( −−ττ)) ))l_l22 ⎤⎦_⎦⎤⎟⎞_⎠⎟⎟ , (13)

^{U t l}

а задача математического программирования (10) формулируется следующим образом:

ε(l) → max, l₁² +l₂² =1.

Ниже приводится ее численное решение

⎛l⁰ ⎞ ⎛ 0.304 ⎞ l = ⎜ ₀ ⎟ = ⎜ _⎟, ε ε= ( )l = 9.036 > 0.

_{0 1 0 0}

⎝l₂ ⎠ ⎝−0.953⎠

Подставляя l⁰ в (13), находим программное управление

U 0 ( )t = ⎜⎛ −sign z⎣⎡ 1 ( )t ⎦⎤ ⎟⎞, (14)

⎜⎝−sign z⎡⎣ 2 ( )t ⎤⎦⎟⎠

где

z

t e e l e e l , z t e e l e e l t .

Моменты переключений управления (14) определим из анализа графиков

функций z₁ ( )t ,z₂ ( )t , t∈[0,1], представленных на рис. 9.

Рис. 9

Из условия z₁ ( )t = 0 находим момент времени t ≈ 0.36245, в который происходит переключение первой компоненты вектора оптимального управления. Очевидно, что вторая компонента этого вектора все время остается постоянной.

Приведем (см. рис. 10) графики зависимостей компонент вектора управления (14) от времени

U₁ U2

Рис. 10

Финальное расстояние от фазового вектора до терминального множества при управлении (12) равно I U⎡_⎣ ⁰ ⎤_⎦ = ρ(x⁰ (1),M ) = 9.036. Соотношение

I ⎡_⎣U ⁰ ⎤_⎦ =ε ε⁰ = (l⁰ )

здесь снова выполняется и, следовательно, управление (12) является оптимальным. Финальное расстояние до терминального множества оказалось меньше того, что было получено в примере 5. Этот результат ожидаемый, так как область изменения вектора управляющих параметров в рассматриваемом случае шире, чем в примере 5.

Для сравнения вычислим финальное расстояние от фазового вектора до терминального множества, когда в качестве допустимого программного управления взята вектор- функция

.

⎝ ⎠

Пусть x( )⋅ = x(⋅,t₀,x u₀, ( )⋅ ). Тогда

⎛ x₁ ( )1 ⎞ ⎛58.334⎞

⎜ x₂ ( )1 ⎟⎠ = ⎜⎝19.866_⎟⎠, I u⎡⎣ ( )⋅ ⎤⎦ =10.513. ⎝

Таким образом,

I u⎡⎣ ( )⋅ ⎤⎦ =10.513 > 9.036 = I U⎡⎣ ⁰ (⋅)⎦⎤ .

Рассмотрим управляемый объект, динамика которого описывается линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами.

Пример 7*.

x₁ = x₃,

x₂ = x₄,

x₃ = (cost x) ₃ +tx₄ +u₁,

1

x₂ =

x₃ +(sint x) ₄ +u₂ , t +1

⎧⎪⎛u1 ⎞22 2 ⎫⎪

u∈P = ⎨⎜ ⎟∈R u₁ +u₂ ≤1⎬, t∈[0,1],

⎪⎩⎝^u₂ ⎠⎪⎭

⎧⎪⎛ m₁ ⎞ 22 ₂ ^⎫⎪

k = 2, M = ⎨⎜ _⎟∈R(m₁ −5) +(m₂ − 4) ≤1⎬ ,

⎩⎪⎝^m₂ ⎠⎭⎪

x₁ ( )0 = x₂ (0) = x₃ (0) = x₄ (0) = 0.

Построим фундаментальную матрицу Коши для однородной системы дифференциальных уравнений и запишем выражение (4) для данного случая

ε⁰ = max ^⎡⎢−max m l, + min q l, ^⎤⎥ = max ^⎡⎢−max(l n_{1 1} +l n_{2 2} +5l₁ + 4l₂ )+

l

S∈ (0,1⁾ ⎣ m M∈q^∈{G t( _{0 0},x T, )^}₂ ⎦ l S∈ (0,1⁾ ⎣n=1

⎛0 0⎞ ⎛ x₁₁ (1,τ) x₁₂ (1,τ) x₁₃ (1,τ) x₁₄ (1,τ)⎞^Tр⎤

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥

+ min⎜⎜10 00⎟⎟⎜⎛⎝uu12 ⎟⎞⎠, ⎜⎜ xx3121 ((11,,ττ)) xx₃₂22 ((11,,ττ)) xx₃₃23 ((11,,ττ)) xx₃₄24 ((11,,ττ))⎟⎟dτ⎥⎥⎥ =

⎜⎜0 1⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ x41 (1,τ) x₄₂ (1,τ) x₄₃ (1,τ) x₄₄ (1,τ)^⎟_⎠⎟⎦⎥

⎝

⎛ 0 ⎞ ⎛l x_{1 11} (τ)+l x_{2 21} (τ)⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

1 2 1⎜ 0 ⎟,⎜l x1 12 ( )τ +l x2 22 ( )τ ⎟

= max0,1 ⎡− −⎣ 1 (5l + 4l )+ ∫0 minu P∈⎜u1 ⎟ ⎜l x1 13 ( )τ +l x2 23 ( )τ ⎟ l S∈ ( )

⎜⎜⎝u2 ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝l x1 14 ( )τ +l x2 24 ( )τ ⎟⎟⎠

⎡⎤

= − +1 l Smax∈ (0,1) ⎢ −(5l₁ + 4l₂ )+ ⎡_⎣x₁₃ (1, )l₁ + x₂₃ (1,τ)l₂ ⎤ + ⎡_⎦² _⎣x₁₄ (1,τ)l₁ + x₂₄ (1,τ)l_{2 ⎦}⎤² d^τ⎥.

⎣ 0 ⎦

Задача математического программирования (10) здесь принимает вид

ε(l) = − −1 (5l₁ + 4l₂ )−

− d → max, l =1.

Приведем ее решение

₀ ⎛−0.779⎞ ₀

l = ⎜ _⎟, ε( )l = 4.596.

⎝−0.627⎠

Заметим, что построить фундаментальную матрицу Коши в аналитическом виде в данном примере не удается. Это обстоятельство в некоторой степени осложняет численное решение задачи математического программирования. Программная стратегия, удовлетворяющая необходимым условиям оптимальности, определяется по формуле

⎛ x₁₃ (1,t l) ₁⁰ + x₂₃ (1,t l) ₂⁰ ⎞

⎜−⎟

₀ ⎜⎟

U ( )t = ⎜ _{0 0} ⎟ , (15)

^⎜₋ x₁₄ (1,t l) ₁ + x₂₄ (1,t l) ₂ ⎟

⎜⎟

⎝⎠

где

Ε(t l, ₁⁰,l₂⁰ ) = (x₁₃ (1,t l) ₁⁰ + x₂₃ (1,t l) ₂⁰ )² +(x₁₄ (1,t l) ₁⁰ + x₂₄ (1,t l) ₂⁰ )² .

Закон движения объекта определяется путем интегрирования основной системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями, в которую подставлено программное управление (15). Ниже на рис. 11 приводятся графики изменения первых двух координат фазового вектора от времени

Рис. 11

Финальное значение проекции фазового вектора на первые две координаты и расстояние от нее до терминального множества задается равенствами

{x0 ( )1 }2 = ⎜⎜⎛ xx1200 ( )( )11 ⎟⎟⎠⎞ = ⎜⎝⎛0.4910.641⎠⎟⎞, I U⎣⎡ 0 ( )⋅ ⎤⎦ = ρ({x0 ( )1 }2 ,M ) = 4.596 . ⎝

Непосредственно проверяется, что

ε ε⁰ = (l⁰ ) = I U⎡_⎣ ⁰ (⋅)⎤_⎦

и устанавливается, что программное управление U ⁰ (⋅) является оптимальным.

Для сравнения вычислим финальное расстояние от проекции фазового вектора на первые две координаты до терминального множества для случая, когда в качестве допустимого программного управления взята вектор функция