Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 23 из 49)

⎪ ⎪

⎪⎩µm ⎪⎭

справедливы соотношения

⎛ T T ⎞

∂Φ⎜⎜ X T t[ , ₀ ]x₀⁰ + ∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( )U ⁰ ( )d + ∫ X T[ ,τ τ τ]C( )d ⎟_⎟

µ0 ⎝ t0 t0 ⎠ +

∂x₀

m ∂ϕi

^+∑i=1 µ_i

_∂x0 ; (3)

µϕ_{i i}

0, µ_i 0, i 1, ,m ; (4)

µ₀ ∈{0,1}. (5)

Заметим, что в силу регулярности множества S₀ , в условии (5) можно сразу записать µ₀ =1. Действительно, пусть µ₀ = 0 . Тогда из условий (3) и (4) следует, что

µ = 0 ⇒ µ = 0 , (6)

i=1

x0 x0

причем среди чисел µ_i , i∈I ⁰ ( )x есть числа, отличные от нуля. Равенство (6) про-

тиворечит линейной независимости набора векторов

. Остается

признать, что µ₀ =1.

Вычисляем

∂Φ ⎛ T ₀ T ⎞

⎜ X T t[ , ]x + ^∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( )U ( )d + ^∫ X T[ ,τ τ τ]C( )d ⎟ =

_∂x0 _⎝⎜ _{0 0} t0 t0 _⎟⎠x0=x00

= X ^Tp = − .

x

Теперь условие (3) можно переписать в виде

0 m ∂ϕi

ψ ( )t₀ = ^∑i=1 µ_i

_∂x .

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 6. Пусть пара

доставляет ре-

шение задачи 2. Тогда необходимо

B( )t U ⁰ (t),ψ⁰ (t) = max B t u( ) ,ψ⁰ (t)

u P∈

при почти всех t ∈[t T₀, ]. В случае, когда для множества S₀ выполнены условия регулярности, существует набор чисел µ₁ ≥ 0, ,µ_m ≥ 0 таких, что

0 m ∂ϕi

0

ψ ( )t₀ = ^∑i=1 µ_i

_∂x , µϕ_{i i} (x₀ ) = 0, i =1, ,m.

Пример 9*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект

x₁ = x₂ +u x₁, ₂ = −x₁ +u₂, t∈[0,π];

⎛u1 ⎞ ⎧ ⎛u1 ⎞ 22 2 ⎫

u = ⎜ ⎟, u∈P = ⎨u = ⎜ ⎟∈R

u₁ +u₂ ≤1⎬,

⎝u2 ⎠ ⎩ ⎝u2 ⎠ ⎭

⎧⎪⎛ x₁ ⎞ ₂⎫⎪

S₀ = ⎨⎜ ⎟∈R − 25− x + x₂ ≤ 0, x₁ − x₂ +5 ≤ 0⎬

⎪⎩⎝ ^x₂ ⎠⎪⎭

I U⎡⎣

⎤⎦ x x .

Условия рассматриваемого примера совпадают с условиями примера 2 за исключением граничных условий на левом конце траектории. В данном примере множество S₀ содержит более одной точки. Множество S₀ показано на

рис. 14.

x₂

Рис. 14

Повторяя выкладки из примера 2, приходим к тому, что

⎛ ψ₁ ⎞

⎜⎟

U tˆ ( ,ψ) = _⎜^⎜_⎟^⎟,ψ≠ 0,

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

а объединенная система дифференциальных уравнений имеет вид

ψ1

x1 = x2 +,

ψ ψ12 + 22 ψ²

x₂ = −x₁ +, (7)

ψ12 +ψ22

ψ₁ = −ψ₂ , ψ₂ =ψ₁.

Выпишем граничные условия. На правом конце траектории они тождественны условиям, полученным в примере 2

ψ₁ ( )π = −6x₁ (π),ψ₂ (π) = −4x₂ (π). (8)

В соответствии с теоремой 6 выпишем граничные условия на левом конце траектории

ψ0 ( )0 =µ1 ∂ ⎛⎜− 4⋅ 25− x12 + x2 ⎟⎞+µ2 ∂ (x1 − x2 +5) =

∂x ⎝ 5 ⎠ ∂x

⎛ 4x₁ ⎞ ⎛ 4x₁ ⎞

⎜ 2 ⎟ ⎛ 1 ⎞ ⎜µ₁ 2 +µ₂ ⎟

= µ1 ⎜ 5 25− x1 ⎟+µ2 ⎝⎜−1⎟⎠ = ⎜⎜ 5 25µ µ1 −− x12 ⎟⎟⎠ ,

⎜ 1 ⎟⎠ ⎝

⎝

⎛ 4 ^{2 ⎞}

µ_{1 ⎜}− ⋅ 25− x₁ + x_{2 ⎟} = 0, µ₂ (x₁ − x₂ +5) = 0, µ µ₁ ≥ 0, ₂ ≥ 0 .

⎝ 5 ⎠

Общее решение системы дифференциальных уравнений (7) имеет вид

ψ₁ (t c c, ₁, ₂ ) = c₁ cost +c₂ sint, ψ₂ (t c c, ₁, ₂ ) = c₂ cost −c₁ sint ,

tc¹ cost tc² sint ,

x₁ (t c c c c, ₁, ₂, ₃, ₄ ) = +c₃ cost + + c₄ sint c +c c +c

x₂ (t c c c c, ₁, ₂, ₃, ₄+c₄ cost − −c₃ sint . (9)

Выпишем граничные условия с учетом равенств (9).

На левом конце

4x

¹⁰ , c₂ = µ µ₁ − ₂ , +µ₂

c3 = x10, На правом конце

c4 = x20 , µ1 ≥ 0,

µ2 ≥ 0.

(10)

⎛⎜ πc1 + c₃ ⎞⎟, −c₂ = 4⎛⎜ πc2 +c₄ ⎞⎟. (11)

−c₁ = 6

⎜ c12 +c22 ^⎟_⎠ ^⎜_⎝ c12 +c22 ^⎟_⎠

_⎝

В результате получилась система из восьми уравнений относительно восьми c c c c₁, ₂, ₃, ₄,µ₁,µ₂, x₁₀,x₂₀ неизвестных. Последовательно рассмотрим четыре случая: 1) µ µ₁ = 0, ₂ = 0, : 2) µ µ₁ > 0, ₂ = 0, : 1) µ µ₁ = 0, ₂ > 0, : 1) µ µ₁ > 0, ₂ > 0.

Случай 1. Из первых двух равенств в (10) вытекает, что

c₁ = c₂ = 0 ⇒ ψ⁰ (t) ≡ 0, t ∈[0,π].

Из граничных условий (8) следуют равенства x₁ (π) = x₂ (π) = 0. Покажем, что

⎛ ⎞0

_{⎜ ⎟}∉Γ(0,S₀,π). Для этого достаточно установить справедливость неравенст-

⎝ ⎠0 ва

l S^max∈ (0,1) ⎣^⎢⎡q G t∈ ^min( 0 0,x T, ) q l^{, ⎤ =} l S^max∈ (0,1 ⎢⎡^minx0∈S0 X [π,0]x l₀, +^π∫0 ^minu P∈ X [πτ, ]u l d, ^τ⎥⎤ > 0. (12)