⎥⎦ ) ⎣⎦
Последовательно вычисляем
⎛ cos(t −τ) sin(t −τ)⎞
X [t,τ] = ⎜ ⎟,
X [π,0]x0, l = −l x1 10 −l x2 20 ,⎝−sin(t −τ) cos(t −τ)⎠
min X [πτ, ]u l, 1.u P∈
В результате неравенство (12) принимает вид
lmax minl ⎢⎣⎡ x ∈S (−l x1 10 −l x2 20 )⎥⎦⎤ >π. (13)Минимум линейной формы, стоящей в левой части неравенства (13), может достигаться лишь в тех начальных позициях, которые лежат на дуге эллипса.
Тогда левая часть неравенства (13) вычисляется по формуле
= 3.527 >π,
и неравенство (13) имеет место. Таким образом, случай 1 не дает решения задачи оптимального управления.
Случай 2). Граничные условия принимают вид
4x10 4c1 =µ1, c2 =µ1 , , x10 − x20 +5 ≤ 0, (14)
5 25− x102⎛ πc1 ⎞ ⎛ πc2 ⎞
c3 = x10, c4 = x20 , µ1 > 0 , −c1 = 6⎜+ c3 ⎟, −c2 = 4⎜+c4 ⎟. (15) ⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠ ⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠Эти условия противоречивы, так как в силу второго равенства в (14) выполняется c2 > 0. Тогда из второго и четвертого равенств в (15) следует, что x20 < 0 и x0 ∉S0 .
Случай 3). Граничные условия принимают вид
c1 =µ2 , c2 = −µ2 ,
, x10 − x20 +5 = 0 , (16)⎛ πc1 ⎞ ⎛ πc2 ⎞
c3 = x10, c4 = x20 , µ2 > 0 , −c1 = 6⎜+ c3 ⎟, −c2 = 4⎜+c4 ⎟. (17)
⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠ ⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠Решением системы (16), (17) будут числа c1 =1.337, c2 = −1.337, c3 = −2.444, c4 = 2.556,µ2 =1.337 > 0, x10 = −2.444, x20 = 2.556.
Подставляя их в (7), определяем оптимальную программную стратегию и оптимальную траекторию объекта. Ниже на рис. 15 приводится вид этой траектории. x2
Рис. 15
Оптимальное значение функционала равно
I U⎡⎣
⎤⎦ x x .В примере 4 значение функционала на оптимальном управлении было
«хуже» и равнялось величине 0.562 . Такой результат является ожидаемым,
⎛−3⎞ так как начальная точка x0 = ⎜ ⎟ из примера 4 принадлежит множеству S0 ⎝ 2 ⎠
данного примера.
Случай 4). Граничные условия принимают вид
4x10 4c1 =µ1+µ2 , c, x10 − x20 +5 = 0 ,
5 25− x102⎛ πc1 ⎞ ⎛ πc2 ⎞
c3 = x10, c4 = x20 , µ1 > 0, µ2 > 0 , −c1 = 6⎜+ c3 ⎟, −c2 = 4⎜+c4 ⎟.
⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠ ⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠Эта система имеет два решения.
Первое решение
c1 =11.150, c2 = 0, c3 = −5, c4 = 0, µ1 = −8.79 10⋅ −7 , µ2 = −8.79 10⋅ −7 ,
x10 = −5, x20 = 0 .
Второе решение
c1 =1.093, c2 = −3.589, c3 = −1.098, c4 = 3.902,µ1 = −3.043< 0,µ2 = 0.545,
x10 = −1.098, x20 = 3.902 .
Оба решения не удовлетворяют предположениям четвертого случая.
Таким образом, задача оптимального управления имеет единственное решение, которое было получено в третьем случае.
Пример 10*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект
x1 = 2x1 + 2x2 −30x3 +u1, x2 =10x1 − x2 −35x3 +u2, x3 = 2x1 − x2 + x3 +u3,
⎧ ⎛u1 ⎞ ⎫
⎪ ⎜ ⎟ 3⎪
u∈P = ⎨u = ⎜u2 ⎟∈R ui ≤1, i =1,2,3⎬, t ∈[0,1]⎪ ⎜⎝u3 ⎟⎠ ⎪⎭
⎩
⎧⎛ x1 ⎞⎫⎪⎜ ⎟ 3x2 x3 ⎪
x0 ∈S0 = ⎨⎪⎜⎜ x2 ⎟∈R+ 6 + 3 ≤1, x1 ≤ 0, − x2 ≤ 0, − x3 ≤ 0⎪⎬;
⎩⎝ x3 ⎟⎠⎭
I U⎡⎣ ( )⋅ ⎤⎦ = x1 (1)+ 2x2 (1)− x3 (1) → min .
Условия рассматриваемого примера совпадают с условиями примера 3 за исключением граничных условий на левом конце траектории. В данном примере множество S0 содержит более одной точки. Множество S0 показано на
рис. 16.
Рис. 16
Повторяя выкладки из примера 3, приходим к тому, что
⎛Uˆ1 (t,ψ)⎞ ⎧⎪ sign[ψi ], ψi < 0
ˆ ( ,ψ) = ⎜⎜Uˆ2 (t,ψ)⎟⎟,Uˆi (t,ψ) = ⎪⎨любоечисло ψi = 0,
U t
⎜⎜⎝Uˆ3 (t,ψ)⎟⎟⎠ ⎩⎪⎪из−[0sign,1],[ψ ψi ], i > 0.
Объединенная система дифференциальных уравнений принимает вид
x1 = 2x1 + 2x2 −30x3 +Uˆ1 (t,ψ), x2 =10x1 − x2 −35x3 +Uˆ2 (t,ψ), x3 = 2x1 − x2 + x3 +Uˆ3 (t,ψ),
ψ1 = −2ψ ψ ψ1 −10 2 −2 3, ψ2 = −2ψ ψ ψ1 + 2 + 3, ψ3 = 30ψ ψ ψ1 +35 2 − 3.
В данном примере сопряженная система дифференциальных уравнений интегрируется независимо от основной системы. В результате с учетом граничных условий
ψ1 (1) = −1,ψ2 (1) = −2,ψ3 (1) =1
получим вектор-функцию ψ0 (t), t ∈[0,1]. Эта функция тождественна той, что была построена в примере 3.
Тогда оптимальная программная стратегия имеет вид
⎧ 1, t ∈⎡⎣0, tˆ),
⎪
⎪произвольноечисло
U
t = ⎨ t = tˆ, , U t U t t ,⎪из[−1,1 ,]
⎪⎩ −1, t ∈(tˆ,1 .⎤⎦
где tˆ = 0.741061.
Подставим ее в исходную систему дифференциальных уравнений
x1 = 2x1 + 2x2 −30x3 +U10 (t),
x2 =10x1 − x2 −35x3 +U20 ( )t , (18)
x3 = 2x1 − x2 + x3 +U30 ( )t ,
В соответствии с теоремой 6 выпишем граничные условия на левом конце траектории. С учетом равенств
x1 x3 x2 ϕ1 (x x x1, 2, 3 ) =
+ + −1,, (−9) 6 3ϕ2 (x1,x x2, 3 ) = x1, ϕ3 (x x x1, 2, 3 ) = −x2, ϕ4 (x x x1, 2, 3 ) = −x3 ,