Смекни!
smekni.com

Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 24 из 49)

⎥⎦ ) ⎣⎦

Последовательно вычисляем

⎛ cos(t −τ) sin(t −τ)⎞

X [t,τ] = ⎜ ⎟,

X [π,0]x0, l
= −l x1 10 l x2 20 ,

−sin(t −τ) cos(t −τ)

min
X [πτ,
]u l, 1.

u P

В результате неравенство (12) принимает вид

lmax minl ⎢⎣⎡ x S (−l x1 10 −l x2 20 )⎥⎦⎤ >π. (13)

Минимум линейной формы, стоящей в левой части неравенства (13), может достигаться лишь в тех начальных позициях, которые лежат на дуге эллипса.

Тогда левая часть неравенства (13) вычисляется по формуле

= 3.527 >π,

и неравенство (13) имеет место. Таким образом, случай 1 не дает решения задачи оптимального управления.

Случай 2). Граничные условия принимают вид

4x10 4

c1 1, c2 1 , , x10 x20 +5 ≤ 0, (14)

5 25− x102

⎛ πc1 ⎞ ⎛ πc2 ⎞

c3 = x10, c4 = x20 , µ1 > 0 , c1 = 6⎜+ c3 ⎟, −c2 = 4⎜+c4 . (15) ⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠ ⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠

Эти условия противоречивы, так как в силу второго равенства в (14) выполняется c2 > 0. Тогда из второго и четвертого равенств в (15) следует, что x20 < 0 и x0 S0 .

Случай 3). Граничные условия принимают вид

c1 2 , c2 = −µ2 ,

, x10 x20 +5 = 0 , (16)

⎛ πc1 ⎞ ⎛ πc2 ⎞

c3 = x10, c4 = x20 , µ2 > 0 , c1 = 6⎜+ c3 ⎟, −c2 = 4⎜+c4 ⎟. (17)

⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠ ⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠

Решением системы (16), (17) будут числа c1 =1.337, c2 = −1.337, c3 = −2.444, c4 = 2.556,µ2 =1.337 > 0, x10 = −2.444, x20 = 2.556.

Подставляя их в (7), определяем оптимальную программную стратегию и оптимальную траекторию объекта. Ниже на рис. 15 приводится вид этой траектории. x2

Рис. 15

Оптимальное значение функционала равно

I U

x x .

В примере 4 значение функционала на оптимальном управлении было

«хуже» и равнялось величине 0.562 . Такой результат является ожидаемым,

⎛−3⎞ так как начальная точка x0 = ⎜ ⎟ из примера 4 принадлежит множеству S0 ⎝ 2 ⎠

данного примера.

Случай 4). Граничные условия принимают вид

4x10 4

c1 12 , c, x10 x20 +5 = 0 ,

5 25− x102

⎛ πc1 ⎞ ⎛ πc2 ⎞

c3 = x10, c4 = x20 , µ1 > 0, µ2 > 0 , c1 = 6⎜+ c3 ⎟, −c2 = 4⎜+c4 .

⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠ ⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠

Эта система имеет два решения.

Первое решение

c1 =11.150, c2 = 0, c3 = −5, c4 = 0, µ1 = −8.79 10⋅ 7 , µ2 = −8.79 10⋅ 7 ,

x10 = −5, x20 = 0 .

Второе решение

c1 =1.093, c2 = −3.589, c3 = −1.098, c4 = 3.902,µ1 = −3.043< 0,µ2 = 0.545,

x10 = −1.098, x20 = 3.902 .

Оба решения не удовлетворяют предположениям четвертого случая.

Таким образом, задача оптимального управления имеет единственное решение, которое было получено в третьем случае.

Пример 10*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект

x1 = 2x1 + 2x2 −30x3 +u1, x2 =10x1 x2 −35x3 +u2, x3 = 2x1 x2 + x3 +u3,

⎧ ⎛u1 ⎞ ⎫

⎪ ⎜ ⎟ 3

uP = ⎨u = u2 R ui ≤1, i =1,2,3, t ∈[0,1]

⎪ ⎜⎝u3 ⎟⎠ ⎪⎭

⎧⎛ x1 ⎞⎫

⎪⎜ ⎟ 3x2 x3

x0 ∈S0 = ⎨⎪⎜⎜ x2 ⎟∈R+ 6 + 3 ≤1, x1 ≤ 0, − x2 ≤ 0, − x3 ≤ 0⎪⎬;

⎩⎝ x3 ⎟⎠⎭

I U( )⋅ ⎤= x1 (1)+ 2x2 (1)− x3 (1) → min .

Условия рассматриваемого примера совпадают с условиями примера 3 за исключением граничных условий на левом конце траектории. В данном примере множество S0 содержит более одной точки. Множество S0 показано на

рис. 16.

Рис. 16

Повторяя выкладки из примера 3, приходим к тому, что

Uˆ1 (t,ψ)⎞ ⎧⎪ signi ], ψi < 0

ˆ ( ,ψ) = ⎜⎜Uˆ2 (t,ψ)⎟⎟,Uˆi (t,ψ) = ⎪⎨любоечисло ψi = 0,

U t

⎜⎜⎝Uˆ3 (t,ψ)⎟⎟⎠ ⎩⎪⎪из−[0sign,1],[ψ ψi ], i > 0.

Объединенная система дифференциальных уравнений принимает вид

x1 = 2x1 + 2x2 −30x3 +Uˆ1 (t,ψ), x2 =10x1 x2 −35x3 +Uˆ2 (t,ψ), x3 = 2x1 x2 + x3 +Uˆ3 (t,ψ),

ψ1 = −2ψ ψ ψ1 −10 2 −2 3, ψ2 = −2ψ ψ ψ1 + 2 + 3, ψ3 = 30ψ ψ ψ1 +35 2 3.

В данном примере сопряженная система дифференциальных уравнений интегрируется независимо от основной системы. В результате с учетом граничных условий

ψ1 (1) = −1,ψ2 (1) = −2,ψ3 (1) =1

получим вектор-функцию ψ0 (t), t ∈[0,1]. Эта функция тождественна той, что была построена в примере 3.

Тогда оптимальная программная стратегия имеет вид

⎧ 1, t ∈⎡0, tˆ),

произвольноечисло

U

t = ⎨ t = tˆ, , U
t U t t ,

из[−1,1 ,]

⎩ −1, t ∈(tˆ,1 .⎤

где tˆ = 0.741061.

Подставим ее в исходную систему дифференциальных уравнений

x1 = 2x1 + 2x2 −30x3 +U10 (t),

x2 =10x1 x2 −35x3 +U20 ( )t , (18)

x3 = 2x1 x2 + x3 +U30 ( )t ,

В соответствии с теоремой 6 выпишем граничные условия на левом конце траектории. С учетом равенств

x1 x3 x2 ϕ1 (x x x1, 2, 3 ) =

+ + −1,, (−9) 6 3

ϕ2 (x1,x x2, 3 ) = x1, ϕ3 (x x x1, 2, 3 ) = −x2, ϕ4 (x x x1, 2, 3 ) = −x3 ,