Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 26 из 49)

t0 t0

Получили противоречие. Теорема доказана.

Последовательность действий по решению задачи управления динамической системой на основе теоремы 7 в целом аналогична той, что была описана в пункте 2.4. Отличие состоит лишь в том, что задача математического программирования (4.7) здесь принимает вид

⎛ l ⎞⎛ l ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟

ε( )l = −χ(M l, )+ min X T t[ , 0 ]x₀,^{⎜ 0 ⎟}X T[ ,τ τ τ]B( )U^ˆ ( ,l), ^{⎜ 0 ⎟}dτ+

x₀∈S₀⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠

+X t[ ,τ τ]C( ), dτ→ max , l =1. (6)

Эта задача всегда имеет решение, а в случае когда ε ε⁰ = ( )l⁰ > 0 , это решение единственное. Другое отличие касается начальных условий для фазового вектора: их следует выбирать из соотношения (3). Также как и в пункте 2.4, достаточным условием оптимальности найденного управления будет являться совпадения величины ε⁰ и значения функционала на этом управлении.

Пример 11*. Рассматривается следующая управляемая система:

x₁ = x₃,

x₂ = x₄,

x₃ = (cost x) ₃ +tx₄ +u₁,

1

x₂ =

x₃ +(sint x) ₄ +u₂, t +1

⎪⎧⎛u1 ⎞ 2 2 2 ⎪⎫

u∈P = ⎨⎜ ⎟∈R u₁ +u₂ ≤1⎬, t∈[0,1],

⎪⎩⎝^u₂ ⎠ ⎪⎭

⎧⎪⎛ m₁ ⎞ 2 2 ₂ ^⎫⎪

k = 2, M = ⎨⎜ _⎟∈R (m₁ −5) +(m₂ − 4) ≤1⎬ ,

Фундаментальная матрица Коши для однородной системы дифференциальных уравнений, опорная функция множества M и функция U^ˆ здесь совпадают с теми, что были построены в примере 7. Вычисляем

⎛ x₁₀ ⎞ ⎛l₁ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

min

x₀, ψ^0∗ ( )T = min X [1,0]^⎜ x^{20 ⎟},^⎜l^{2 ⎟} =

x0∈S0x0∈S0⎜ x30 ⎟ ⎜ 0 ⎟

⎜⎜ x40 ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠

⎝ = min0 0 ⎡_⎣l₁ (x₁₁ [1,0]x₁₀ + x₁₂ [1,0]x₂₀ + x₁₃ [1,0]x₃₀ + x₁₄ [1,0]x₄₀ )+ x ∈S

+l₂ (x₂₁ [1,0]x₁₀ + x₂₂ [1,0]x₂₀ + x₂₃ [1,0]x₃₀ + x₂₄ [1,0]x₄₀ )⎤_⎦ =

= min0 0 ⎡_⎣x₁₀ (l x_{1 11} [1,0]+l x_{2 21} [1,0])+ x₂₀ (l x_{1 12} [1,0]+l x_{2 22} [1,0])+ x ∈S

+x

+ + + = =

0∈ ₀

i=1

= − (0.2)² β₁² (l l₁, ₂ ) (+ 0.1)² β₂² (l l₁, ₂ ) (+ 0.1)² β₃² (l l₁, ₂ ) (+ 0.2)² β₄² (l l₁, ₂ ) = −Ξ(l l₁, ₂ ), где обозначено

β_i (l l₁, ₂ ) = l x_{1 1i} [1,0]+l x_{2 2i} [1,0 ,] i =1,2,3,4 .

При этом

β1 (l l1, 2 ) (⋅ 0.2)² β2 (l l1, 2 ) (⋅ 0.1)²

x10 (l l1, 2 ) = −

, x20 (l l1, 2 ) = − , Ξ(l l₁, ₂ ) Ξ(l l₁, ₂ )

β₃ (l l₁, ₂ ) (⋅ 0.2)² β₄ (l l₁, ₂ ) (⋅ 0.1)²

x₃₀ (l l₁, ₂ ) = −

, x₄₀ (l l₁, ₂ ) = − . (7) Ξ(l l₁, ₂ ) Ξ(l l₁, ₂ )

Выпишем задачу математического программирования (6)

T

ε( )l = − −1 (5l₁ + 4l₂ )−Ξ(l l₁, ₂ )− Ε_∫ (τ,l l₁⁰, ₂⁰ )dτ→ max, l =1,

t₀

где

Ε(t l, ₁⁰,l₂⁰ ) = (x₁₃ (1,t l) ₁⁰ + x₂₃ (1,t l) ₂⁰ )² +(x₁₄ (1,t l) ₁⁰ + x₂₄ (1,t l) ₂⁰ )² .

Решением этой задачи будет

l₁⁰ = −0.781, l₂⁰ = −0.625,ε(l⁰ ) = 4.287.

Подставляя вектор l⁰ в (7), находим оптимальное начальное положение фазового вектора

x₁⁰ = 0.101, x₂⁰ = 0.202, x₃⁰ = 0.057, x₄⁰ = 0.123. (8)

Оптимальная программная стратегия задается формулой

⎛ x₁₃ (1,t l) ₁⁰ + x₂₃ (1,t l) ₂⁰ ⎞

⎜−⎟

₀ ⎜⎟

U ( )t = ⎜ _{0 0} ⎟ . (9)

^⎜₋ x₁₄ (1,t l) ₁ + x₂₄ (1,t l) ₂ ⎟

⎜⎟

⎝⎠

Оптимальный закон движения объекта определяется путем интегрирования основной системы дифференциальных уравнений с начальными условиями (8), в которую подставлено оптимальное программное управление (9). Ниже на рис. 16 приводятся графики изменения первых двух координат фазового вектора от времени

Рис. 16

Финальное значение проекции фазового вектора на первые две координаты и расстояние от нее до целевого множества задаются равенствами

₀ ⎛ x₁⁰ ( )1 ⎞ ⎛0.872⎞ _{0 0 0}

{x ( )1 }2 = ⎜⎜ _x20 ( )₁ ⎟⎟_⎠ = ⎜_⎝0.697⎠⎟, ^ρ(x (1),M ) = 4.287 =^ε( )l =ε .

_⎝

Последнее равенство означает оптимальность найденного программного управления.

В примере 7 значение функционала на оптимальном управлении было

«хуже» и равнялось величине 4.596 . Этот результат объясняется тем, что

⎛ ⎞0

⎜ ⎟

0 начальная точка x₀ = ^{⎜ ⎟} из примера 7 принадлежит множеству S₀ данного

⎜ ⎟0

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠0

примера.

Пример 12*. В условиях предыдущего примера принимается, что

⎧⎪⎛u₁ ⎞ ₂⎫⎪ P = ⎨⎜ ⎟∈R≤1⎬.

⎩⎪⎝^u₂ ⎠⎭⎪

Тогда вектор функция U^ˆ определяется формулой

U t l lˆ ( , ,1 2 ) = ⎛⎜−sign x⎣⎡ 13 (1,τ)l1 + x23 (1,τ)l2 ⎦⎤⎞⎟, (10)

⎜⎝−sign x⎡_⎣ 14 (1,τ)l₁ + x₂₄ (1,τ)l₂ ⎤_⎦⎟_⎠

а задача математического программирования (6) здесь принимает вид

ε( )l = − −1 (5l₁ + 4l₂ )−Ξ(l l₁, ₂ )−

1

−∫⎡_⎣ x₁₃ (1,τ)l₁ + x₂₃ (1,τ)l₂ + x₁₄ (1,τ)l₁ + x₂₄ (1,τ τ)l₂ ⎤_⎦d → max, l =1.

0

Решением этой задачи будут числа

l₁⁰ = −0.794, l₂⁰ = −0.608,ε(l⁰ ) = 3.973.

Подставляя вектор l⁰ в (7), находим оптимальное начальное положение фазового вектора