Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 29 из 49)
⎩⎪⎝u2 ⎠⎭⎪
t0 = 0, x10 =1, x20 =1.
Фундаментальная матрица Коши здесь имеет вид
⎛ cos(t − s) sin(t − s)⎞
X t s[ , ] = ⎜ ⎟.
⎝−sin(t − s) cos(t − s)⎠
Вычисляем
⎡ ⎛ cosT
= maxl =1 ⎢⎣⎢ ⎝⎜−sinT 
ε[T] =sinT ⎞⎛ ⎞1 ⎛l1 ⎞T⎛u1 ⎞ ⎛cos(T −τ) −sin(T −τ)⎞ ⎛l1 ⎞⎤
cosT ⎠⎝ ⎠⎟⎜ ⎟1 , ⎝⎜l2 ⎠⎟+ ∫min⎝⎜u2 ⎠⎟, ⎝⎜ sin(T −τ) cos(T −τ) ⎟⎠ ⎝⎜l2 ⎟⎠dτ⎥⎦⎥ = 
= max ⎡l (cosT +sinT)+l (−sinT + cosT)−⎣
T⎤
−∫ d ⎥ .
0 ⎦
Минимум подынтегрального выражения достигается на векторе
ˆ (τ, ,l T ) = −⎛⎜l1 cos(T −τ)−l2 sin(T −τ)⎞⎟∈P,τ∈[0,T].
U
⎝l1 sin(T −τ)+l2 cos(T −τ)⎠
Выражение для функции ε здесь принимает вид
ε[T] = max ⎡⎣l (cosT +sinT)+l (−sinT +cosT)−T⎦⎤ = 
2 −T ,где
L0 ( )T ={l0 ( )T }, l0 ( )T = 1 ⎛⎜ cosT +sinT ⎞⎟ .⎝−sinT +cosT ⎠
Таким образом,
ε0 [T] = 0 ⇒T 0 = 2 .Вычисляем оптимальное управление
1 ⎛−(cos 2 +sin 2)cos( 2 −t)+ −( sin 2 + cos 2)sin( 2 −t)⎞
U 0 ( )t =⎜⎜ ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎟.⎜ − cos 2 +sin 2 sin 2 −t − −sin 2 +cosT cos 2 −t
⎝⎠
Подставляя его в дифференциальные уравнения движения и интегрируя последние с заданными начальными условиями, находим
x10 ( )t = − 12 (− +2 2t)(cost +sint), x20 ( )t = − 12 (− +2 2t)(cost −sint).Очевидно, что
x10 ( 2) = x20 ( 2) = 0.Таким образом, построенное управление U 0 (t) является оптимальным.
Ниже на рис. 2 приводится оптимальная траектория движения
Рис. 2
Рассмотрим задачу линейного быстродействия для управляемого объекта, динамика которого описывается линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Пример 3*
x1 = (cost x) 1 +tx2 +u1,
1 (5)
x2 =
x1 +(sint x) 2 +u2, t +1 
⎧⎪⎛u1 ⎞22 2 ⎫⎪u∈P = ⎨⎜ ⎟∈R u1 +u2 ≤ 3⎬,
⎩⎪⎝u2 ⎠⎭⎪
t0 = 0, x10 =1, x20 =1.
Построим фундаментальную матрицу Коши для однородной системы дифференциальных уравнений и запишем выражение для функции ε. Имеем
⎡ ⎛ x11[T,0] x12[T,0]⎞⎛ x10 ⎞ ⎛l ⎞ ⎛u1 ⎞ ⎛ x11[T,τ] x12[T,τ]⎞Тр ⎛l1 ⎞⎤ 
ε[ ]T = maxl =1 ⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟, ⎜⎜ ⎟ ⎜, ⎟ ⎜ ⎟dτ⎥ =⎢⎣ ⎝ x21[T,0] x22[T,0]⎠⎝ x20 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝u2 ⎠ ⎝ x21[T,τ] x22[T,τ]⎠ ⎝l2 ⎠⎥⎦
⎡ ⎛ x11[T,0]+ x12[T,0]⎞ ⎛l1 ⎞⎞ ⎛l x1 11[T,τ]+l x2 21[T,τ]⎞⎤
= maxl =1 ⎢ ⎜ ⎟ ⎜, ⎟⎟ ⎜, ⎟dτ⎥ =
⎢⎣ ⎝ x21[T,0]+ x22[T,0]⎠ ⎝l2 ⎠2 ⎠ ⎝l x1 12[T,τ]+l x2 21[T,τ]⎠⎥⎦
= max ⎡⎣(x [T,0]+ x [T,0])l +(x [T,0]+ x [T,0])l −T⎤
−3⋅∫⎥ .
0 ⎦
Программная стратегия, удовлетворяющая необходимым условиям оптимальности, определяется по формуле
⎛ x
⎞ ⎜− 
⎟⎜
⎟U 0 ( )t = 3⋅⎜ 0 0 0 0 ⎟, t ∈⎡⎣t T0, 0 ⎤⎦, l0 ∈L0 (T 0 ), (6)
⎜ x14 (T ,t l) 1 + x24 (T ,t l) 2 ⎟
⎜−
⎟ 
⎜⎟⎝⎠
где
Ε(t l, 10,l20,T 0 ) = (x13 (T 0,t l) 10 + x23 (T 0,t l) 20 )2 +(x14 (T 0,t l) 10 + x24 (T 0,t l) 20 )2 .В данном случае
0 0 0 0 0 ⎛0.617752⎞
T = 0.662, L (T ) { }= l , l = ⎜ ⎟.
⎝0.786372⎠
Подставим управление (6) в дифференциальные уравнения (5) и проинтегрируем их с заданными начальными условиями. Непосредственно проверяется, что для полученного закона движения x0 (t), t ∈⎣⎡0,T 0 ⎤⎦ выполняется
0 ⎛−0.0000134271⎞ ⎛ ⎞0
x (0.662) = ⎜ ⎟ ≈ ⎜ ⎟.
⎝−0.0000148833⎠ ⎝ ⎠0
Таким образом, построенное управление U 0 (t) является оптимальным. Ниже на рис. 3 приводится оптимальная траектория движения
Рис. 3
Пример 4*.
x1 = −x1 + 2x2 −2x3 +u2 +u3, x2 = x1 −3x2 − x3 +u1 +u3, x3 = −x1 + 4x2 −2x3 +u1 +u2, t0 = 0, x10 =1, x20 =1, x30 =1.
В данном примере матрицы A и B имеют вид
| ⎛−1 ⎜ A = ⎜ 1 ⎜−1 ⎝ | 2 −3 4 | −2⎞ ⎟ −1⎟, −2⎟⎠ | ⎛0 ⎜ B = ⎜1 ⎜1 ⎝ | 1 0 1 | 1⎞ ⎟ 1⎟ . 0⎟⎠ |
Заметим, что собственными числами матрицы A являются действительные числа -1, -2, -3.
Построим фундаментальную матрицу Коши для однородной системы дифференциальных уравнений и запишем выражение для функции ε. Имеем
⎛e−3(T −τ) (2−4eT −τ +3e2(T −τ) ) −e−3(T−τ) (5−8eT −τ +3e2(T−τ) ) −e−3(T−τ) (1− 4eT −τ +3e2(T−τ) )⎞
⎜ ⎟
X t[ ,τ] = ⎜⎜ e−2(T −τ) (− +1 eT −τ) −e−2(T −τ) (− +2 eT −τ) −e−2(T−τ) (− +1 eT −τ) ⎟⎟
⎜ −3(T −τ) T −τ 2(T −τ) −3(T −τ) T −τ 2(T−τ) −3(T−τ) T −τ 2(T−τ) ⎟