Смекни!
smekni.com

Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 3 из 49)

⎜⎜⎜⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xxxx124653⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ 1 IcAIA BB1cB1 B 00 c2 I(BIIcB+B2B2+ICIC ) 00 00 00⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xxx165243⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟+⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ I10000A I10000C ⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎜⎜⎜⎝uu12⎞⎠⎟⎟⎟⎟.

⎜⎜

⎜⎝⎜⎜ ⎟

Заметим, что в разобранном примере математическая модель, представленная системой дифференциальных уравнений (8), адекватна физическому объекту только в пределах деформаций, удовлетворяющих закону Гука, т.е. ес-

ли фазовые координаты x1,x2,x3 достаточно малы по абсолютной величине.

К дифференциальным уравнениям вида (2) можно прийти и в результате линеаризации исходных нелинейных дифференциальных уравнений движения объекта. Опишем процедуру линеаризации.

Пусть математической моделью управляемого динамического объекта служит система нелинейных дифференциальных уравнений

y =Y t y v( , , ) , t ∈[t T0, ], y Rn, v Rr . (9) Относительно функции Y :[t0 ,TRn+r Rn предполагается существование непрерывных частных производных не ниже второго порядка включительно по каждому из аргументов.

Допустим, что некоторой функции v:[t T0, ]→ Rr отвечает решение y()⋅ = y(⋅,t0 , y0 ,v()) дифференциального уравнения (9), удовлетворяющее начальному условию y t( 0)= y0 . Предположим, что именно эта функция y(⋅) является требуемым законом движения для управляемого объекта. Однако при физической реализации указанного управления v(⋅) закон движения y()⋅ реального динамического объекта вследствие ряда факторов (неадекватность математической модели, наличие неконтролируемых возмущений, невозможность в точности удовлетворить начальным условиям и др.) будет отличаться от идеального движения y()⋅ . Для реализаций управляющих воздействий и отвечающих им движений примем следующее представление:

y(⋅)= y (⋅)+ x(⋅), v(⋅)= v(⋅)+ u(⋅). (10) Здесь величины x()⋅ , u()⋅ полагаются малыми. Подставим выражения (10) в уравнения (9). В результате получим

y( )t + x( )t = Y(t, y(t)+ x(t),v(t)+ u(t)), t ∈[t0,T]. (11) С точностью до величин второго порядка малости по отношению к x(⋅) , u(⋅) из (11) выводим

y( )t + x( )t =Y ( ) ( )
[ ,T]. y v

Обозначая

A( )t =

Y(t, y( )t ,v( )t ), B( )t =
Y(t, y ( )t ,v( )t ), t∈[t0 ,T] (12)

y v

и учитывая, что

y( )t = Y (t, y(t), v(t)), t ∈ [t0 ,T ],

приходим к уравнениям (2), в которых C t( )= 0, t ∈[t T0, ].

Пример 3*. На горизонтальный плоскости находится двухзвенный механический манипулятор, каждое звено которого представляет собой абсолют-

но жесткий стержень длиной

li ,i =1,2. Первое звено соединено с неподвижным основанием манипулятора вращательной парой O1 , а со вторым звеном – враща-

Рис. 3 тельной парой O2 . Масса схвата

манипулятора – m , центр масс i-го звена находится в середине стержня – точке Ci , его масса – mi , момент инерции i-го звена относительно своего центра масс – Ii ,i =1,2. В соединительных парах могут развиваться управляющие вращательные моменты, соответственно, v1 и v2 ,

На горизонтальной плоскости, в которой расположен манипулятор, введем прямолинейную ось O1 x. Обозначим через ϕi угол, образованный i-м звеном манипулятора, i =1,2, с осью O1 x. Запишем дифференциальные уравнения движения манипулятора в форме уравнений Лагранжа второго рода, в которых в качестве обобщенных координат берутся углы ϕi ,i =1,2 . Кинетическая энергия манипулятора определяется по формуле

T = T1 + T2 + Tc , (13)

где Ti – кинетическая энергия i-го, i =1,2, звена, а Tc – кинетическая энергия схвата манипулятора. Последовательно вычисляем

1 ( 2 21 )( 2 2 2 ) 4I1 + m1l12 2

T1 = I1ϕ1 + m1vC =4I1ϕ1 + m1l1ϕ1 = ϕ1 ,

28

T2 =

(I 2ϕ22 + m 2 vC22 )=
[4I 2ϕ22 + 4m 2 l12ϕ12 + m 2 l22ϕ22 + 4m 2 l1l2ϕ1ϕ2 cos(ϕ1 −ϕ2 )],

Tc =

mvc2 =
m[l12ϕ12 + l22ϕ22 + 2l1l2ϕ1ϕ2 cos(ϕ1 −ϕ2 )].

Подставляя найденные величины энергий составных частей манипулятора в (13), находим

T =
12 [l12 (m1 + 4m2 + 4m)+ 4I1 ]+
1ϕ22 [l22 (m2 + 4m)+ 4I 2 ]+ (2m + m2 )l1l2ϕ1ϕ2 cos(ϕ1 −ϕ2 ).

8 8

Введем обозначения

a =
1 [l12 (m1 + 4m2 + 4m)+ 4I1 ], b =
1 [l22 (m2 + 4m)+ 4I 2 ], c = (2m + m2 )l1l2 .

4 4

Тогда выражение для кинетической энергии манипулятора принимает вид

T =

[aϕ12 + 2cϕ1ϕ2 cos(ϕ1 −ϕ2)+ bϕ22].

Справедливы равенства

T d T

= aϕ1 + cϕ2 cos(ϕ1 −ϕ2 ),
= aϕ1 + cϕ2 cos(ϕ1 −ϕ2 )− cϕ2 1 −ϕ2 )sin(ϕ1 −ϕ2 ),

∂ϕ1 dt ∂ϕ1

T d T

= bϕ2 + cϕ1 cos(ϕ1 −ϕ2 ),
= bϕ2 + cϕ1 cos(ϕ1 −ϕ2 )− cϕ11 −ϕ2 )sin(ϕ1 −ϕ2 ),

∂ϕ2 dt ∂ϕ2

T = −cϕ1ϕ2 sin(ϕ1 −ϕ2 ),
T = cϕ1ϕ2 sin(ϕ1 −ϕ2 ). (14)