⎜⎜
⎜⎝⎜⎜ ⎟
Заметим, что в разобранном примере математическая модель, представленная системой дифференциальных уравнений (8), адекватна физическому объекту только в пределах деформаций, удовлетворяющих закону Гука, т.е. ес-
ли фазовые координаты x1,x2,x3 достаточно малы по абсолютной величине.
К дифференциальным уравнениям вида (2) можно прийти и в результате линеаризации исходных нелинейных дифференциальных уравнений движения объекта. Опишем процедуру линеаризации.
Пусть математической моделью управляемого динамического объекта служит система нелинейных дифференциальных уравнений
y =Y t y v( , , ) , t ∈[t T0, ], y ∈ Rn, v ∈ Rr . (9) Относительно функции Y :[t0 ,T]× Rn+r → Rn предполагается существование непрерывных частных производных не ниже второго порядка включительно по каждому из аргументов.
Допустим, что некоторой функции v∗ :[t T0, ]→ Rr отвечает решение y∗()⋅ = y∗(⋅,t0 , y0 ,v∗()⋅ ) дифференциального уравнения (9), удовлетворяющее начальному условию y t( 0)= y0 . Предположим, что именно эта функция y∗ (⋅) является требуемым законом движения для управляемого объекта. Однако при физической реализации указанного управления v∗ (⋅) закон движения y()⋅ реального динамического объекта вследствие ряда факторов (неадекватность математической модели, наличие неконтролируемых возмущений, невозможность в точности удовлетворить начальным условиям и др.) будет отличаться от идеального движения y∗ ()⋅ . Для реализаций управляющих воздействий и отвечающих им движений примем следующее представление:
y(⋅)= y ∗ (⋅)+ x(⋅), v(⋅)= v∗ (⋅)+ u(⋅). (10) Здесь величины x()⋅ , u()⋅ полагаются малыми. Подставим выражения (10) в уравнения (9). В результате получим y∗( )t + x( )t = Y(t, y∗(t)+ x(t),v∗(t)+ u(t)), t ∈[t0,T]. (11) С точностью до величин второго порядка малости по отношению к x(⋅) , u(⋅) из (11) выводим y∗ ( )t + x( )t =Y ( ) ( ) [ ,T]. y vОбозначая
A( )t =
∂ Y(t, y∗ ( )t ,v∗ ( )t ), B( )t = ∂ Y(t, y ∗ ( )t ,v∗ ( )t ), t∈[t0 ,T] (12)∂y ∂v
и учитывая, что
y∗( )t = Y (t, y∗(t), v∗(t)), t ∈ [t0 ,T ],
приходим к уравнениям (2), в которых C t( )= 0, t ∈[t T0, ].
Пример 3*. На горизонтальный плоскости находится двухзвенный механический манипулятор, каждое звено которого представляет собой абсолют-
но жесткий стержень длинойli ,i =1,2. Первое звено соединено с неподвижным основанием манипулятора вращательной парой O1 , а со вторым звеном – враща-
Рис. 3 тельной парой O2 . Масса схвата
манипулятора – m , центр масс i-го звена находится в середине стержня – точке Ci , его масса – mi , момент инерции i-го звена относительно своего центра масс – Ii ,i =1,2. В соединительных парах могут развиваться управляющие вращательные моменты, соответственно, v1 и v2 ,
На горизонтальной плоскости, в которой расположен манипулятор, введем прямолинейную ось O1 x. Обозначим через ϕi угол, образованный i-м звеном манипулятора, i =1,2, с осью O1 x. Запишем дифференциальные уравнения движения манипулятора в форме уравнений Лагранжа второго рода, в которых в качестве обобщенных координат берутся углы ϕi ,i =1,2 . Кинетическая энергия манипулятора определяется по формуле
T = T1 + T2 + Tc , (13)
где Ti – кинетическая энергия i-го, i =1,2, звена, а Tc – кинетическая энергия схвата манипулятора. Последовательно вычисляем
1 ( 2 21 )( 2 2 2 ) 4I1 + m1l12 2T1 = I1ϕ1 + m1vC =4I1ϕ1 + m1l1ϕ1 = ϕ1 ,
28
T2 =
(I 2ϕ22 + m 2 vC22 )= [4I 2ϕ22 + 4m 2 l12ϕ12 + m 2 l22ϕ22 + 4m 2 l1l2ϕ1ϕ2 cos(ϕ1 −ϕ2 )],Tc =
mvc2 = m[l12ϕ12 + l22ϕ22 + 2l1l2ϕ1ϕ2 cos(ϕ1 −ϕ2 )].Подставляя найденные величины энергий составных частей манипулятора в (13), находим
T = 1ϕ12 [l12 (m1 + 4m2 + 4m)+ 4I1 ]+ 1ϕ22 [l22 (m2 + 4m)+ 4I 2 ]+ (2m + m2 )l1l2ϕ1ϕ2 cos(ϕ1 −ϕ2 ).8 8
Введем обозначения
a = 1 [l12 (m1 + 4m2 + 4m)+ 4I1 ], b = 1 [l22 (m2 + 4m)+ 4I 2 ], c = (2m + m2 )l1l2 .4 4
Тогда выражение для кинетической энергии манипулятора принимает вид
T =
[aϕ12 + 2cϕ1ϕ2 cos(ϕ1 −ϕ2)+ bϕ22].Справедливы равенства
∂T d ∂T
= aϕ1 + cϕ2 cos(ϕ1 −ϕ2 ), = aϕ1 + cϕ2 cos(ϕ1 −ϕ2 )− cϕ2 (ϕ1 −ϕ2 )sin(ϕ1 −ϕ2 ),
∂ϕ1 dt ∂ϕ1
∂T d ∂T
= bϕ2 + cϕ1 cos(ϕ1 −ϕ2 ), = bϕ2 + cϕ1 cos(ϕ1 −ϕ2 )− cϕ1(ϕ1 −ϕ2 )sin(ϕ1 −ϕ2 ),
∂ϕ2 dt ∂ϕ2
∂T = −cϕ1ϕ2 sin(ϕ1 −ϕ2 ), ∂T = cϕ1ϕ2 sin(ϕ1 −ϕ2 ). (14)