Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 30 из 49)

⎜ e (2−3e +e ) −e (5−6e + e ) −e (1−3e + e ) ⎟

⎝ ⎠

⎡ 3 T ⎤

ε[ ]T = max ⎢m l l l T( ₁, ₂, ,₃ )+ ∑∫mini k l l l T_i ( ₁, ₂, , ,₃ τ τ)u d_i ⎥ =

l=1 u≤1

⎣ i=1 ₀⎦

⎡ 3 T⎤

= max ⎢m l l l T( ₁, ₂, ,₃ )+ ∑∫ k l l l T_i ( ₁, ₂, , ,₃ τ) d^τ⎥ ,

l=1 ⎣ i=1 ₀ ⎦

где

m l l l T( 1, 2, ,3 ) = −( 4e−3T +8e−2T −3e−T )l1 +(2e−2T −e−T )l2 + −( 4e−3T + 6e−2T −e−T )l3 , k1 (l l l T1, 2, , ,3 τ) = −6e−3(T−τ) (l1 +l3 )−2e−(T−τ) (3l1 +l2 +l3 )+3e−2(T−τ) (4l1 +l2 +3l3 ),

k2 (l l l T1, 2, , ,3 τ) = e−3(T −τ) (l1 +l3 ),

k3 (l l l T1, 2, , ,3 τ) = −3e−3(T−τ) (l1 +l3 )+e−2(T −τ) (4l1 +l2 +3l3 ) .

Программная стратегия, удовлетворяющая необходимым условиям оптимальности, определяется по формуле

U_i

t sign k_i l l l T t t T i .

В данном случае

⎛ 0.332184 ⎞

T ⁰ = 0.44738, L T⁰ ( ⁰ ) { }= l⁰ , l⁰ = −^⎜_⎜ 0.705538_⎟^⎟ .

^⎜⎝ 0.625998 ^⎟_⎠

По теореме 2.4 каждая из компонент оптимального программного управления должна иметь не более трех переключений. Убедимся в этом, приведя графики их изменения на промежутке времени ⎡_⎣0,T ⁰ ⎤_⎦ .

u1 u1

1.5 1.5

1 0.5
	0.1 0.2 0.3 0.4	t -0.5 -1	0.1 0.2 0.3 0.4

1 0.5

t -0.5

-1

-1.5 -1.5

Рис. 4

На рис. 4 видно, что первая компонента оптимального программного управления переключается в момент времени t_∗ = 0.426649, третья компонента – в момент времени t_∗∗ = 308253, а вторая компонента остается все время постоянной.

Непосредственно проверяется, что для полученного закона движения x⁰ ( )t , t ∈⎡_⎣0,T ⁰ ⎤_⎦ выполняется

⎛−0.000568689⎞ ⎛ ⎞0

x⁰ (0.44738) = −^⎜_⎜ 0.000411838^⎟_⎟ ≈ ^{⎜ ⎟}_{⎜ ⎟}0 .

⎜⎝−0.000184312⎟⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠0

Таким образом, построенное управление U ⁰ (t) является оптимальным.

Ниже на рис. 5 приводится оптимальная траектория движения

Рис. 5.

Упражнения для самостоятельной работы

Для линейных управляемых динамических систем

x₁ = −3x₁ + 4x₂ −6x₃ +u₁, x₁ = −2x₁ −4x₂ −60x₃ +u₁, x₂ = x₁ −2x₂ + 2x₃ +u₂, x₂ = −4x₁ − x₂ −51x₃ +u₂,

а) x₃ = 2x₁ − x₂ +3x₃ +u₃, б) x₃ = 2x₁ −2x₂ + x₃ +u₃, t₀ = 0, x₁₀ = −1.43859, t₀ = 0, x₁₀ = 3.84645,

x₂₀ = 0.580455, x₃₀ =1.35472, x₂₀ = 4.12477, x₃₀ = −0.591971,

x₁ = 2x₁ + 4x₂ −16x₃ +u₁, x₁ = −3x₁ − x₂ −5x₃ +u₁, x₂ = 2x₁ − x₂ + 21x₃ +u₂, x₂ = x₁ − x₂ +u₂,

в) x₃ = −2x₁ −2x₂ + x₃ +u₃, г) x₃ = x₁ + x₂ + 2x₃ +u₃, t₀ = 0, x₁₀ =15.3151, t₀ = 0, x₁₀ = −1.56927,

x₂₀ = −11.9799, x₃₀ = 3.9094 x₂₀ = −0.473713, x₃₀ =1.2287

решить задачу быстродействия. Рассмотреть два случая:

⎧⎛u₁ ⎞⎫ ⎧⎛u₁ ⎞ ⎫

1) P = ⎨⎪⎜⎜u2 ⎟⎟∈R u312 +u22 +u32 =1⎪⎬, 2) P = ⎪⎨⎜⎜u2 ⎟⎟∈R3 ⎪⎬

⎪⎜⎝u3 ⎟⎠⎪⎭ ⎩⎪⎜⎝u3 ⎟⎠ ⎭⎪

⎩

Показать, что оптимальное время перехода в первом случае больше, чем во втором. Обосновать этот результат.

4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕ-

НИЯ КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ

4.1. Сведение задачи теории оптимального управления к функциональной проблеме моментов. Рассмотрим задачу теории оптимального управления, в которой θ₀ ={ }t₀ ,θ₁ ={T}, S₀ ={x₀}, S₁ ={x_T }, P = R^r , а минимизируемый функционал имеет вид

T

I[u()⋅ ]= ∫ f₀ (u( )τ )dτ. (1)

t₀

Класс программных стратегий отождествим с множеством L_r^p [t₀ ,T] измеримых по Лебегу r -мерных вектор-функций U :[t T₀, ]→ R^r , для которых функция

U ( )_⋅ ^p , p∈[1,∞) суммируема на [t₀ ,T] в смысле Лебега.

Относительно минимизируемого функционала I дополнительно предположим:

1) для всех U ( )

L t T справедливо неравенство I U⎡⎣ ( )⋅ ⎤_⎦ ≥ 0, причем

I U⎡⎣ ( )⋅ ⎤_⎦ = 0 тогда и только тогда, когда U t( ) = 0 почти всюду на [t₀ ,T];

2) для всех U₁ ( )

U₂ ( ) L t T₀ справедливо неравенство

I U⎡_⎣ 1 (⋅)+U₂ (⋅)⎤_⎦ ≤ I U⎡_⎣ 1 (⋅)_⎦⎤ + I U⎡_⎣ 2 (⋅)⎤_⎦ ;

3) для всех U ( )⋅ ∈L t T_r^p [ ₀, ] , λ∈R¹ имеет место равенство

I ⎡_⎣λU (⋅)⎤_⎦ = λI U⎡_⎣ (⋅)⎤_⎦ .

Условия 1)-3) позволяют истолковать функционал I как некоторую норму

на функциональном пространстве L_r^p [t₀ ,T].

Следуя [17], осуществим сведение задачи теории оптимального управления к функциональной проблеме моментов. Пусть U

L t T – некоторое программное управление, переводящее фазовый вектор из положения x₀ в момент времени t₀ в положение x_T в момент времени T , и x( )⋅ = x(⋅,t x U₀, ₀, (⋅)). Тогда с учетом x( )T = x_T по формуле Коши получим

T T

x_T = X T t[ , ₀ ]x₀ + ∫ X t[ ,τ]B( ) ( )τ τ τu d + ∫ X t[ ,τ τ τ] W ( )d . (2)

t0 t0

Введем обозначения

H T[ ,τ] = X T[ ,τ τ τ]B( ), ,t ∈[t T₀, ],

T

c = x_T − X[T,t₀ ]x₀ − ∫ X[t,τ]W( )τ dτ.

t₀

Определение 1. Матрицу H[T,τ], t,τ∈[t₀,T] будем называть переходной матрицей объекта.

Условие (2) перепишем с учетом введенных обозначений

T с = ∫ H[t,τ]u( )τ dτ.

t₀

Пусть h⁽ⁱ⁾ [t,τ τ] , ,t ∈[t T₀, ] , i =1, ,n – строки переходной матрицы. Тогда последнее равенство в координатной форме имеет вид

T

с_i = _∫ (h^{( )i} [t,τ^])^T , U ( )τ τd , i =1, ,n. (3)

t₀

Вектор-функции h^{[ ]i} ( )⋅ = (h^{( )i} [T,⋅])^T , i =1, ,n отождествим с элементами линейно-

го функционального пространства L^q_r [t₀,T], где ¹ + ¹ = 1. Такое предположение

p q

правомерно, так как функции h^[i] (⋅), i =1, ,n непрерывны на [t₀ ,T]. В дальнейшем это пространство функций будем называть основным для рассматриваемой задачи оптимального управления. Обозначим его символом Ω[t₀ ,T].