Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 31 из 49)

На основании теоремы о представлении линейных функционалов на пространстве функций [16] можно установить взаимно однозначное соответствие между линейными функционалами ϕ, определенными на пространстве Ω[t₀,T] и программными управлениями u(⋅) формулой

T

ϕ_u [h()⋅ ]= ∫

h( )τ , u( )τ dτ, h()⋅ ∈Ω[t₀ ,T]. (4)

t₀

Формула (4) позволяет отождествить совокупность программных управлений с пространством Ω^∗ [t₀ ,T], сопряженным к основному пространству, т.е. с пространством линейных функционалов, определенных на Ω[t₀ ,T]. Превратим линейное пространство Ω[t₀ ,T] в нормированное, определив для каждого его элемента h()⋅ ∈Ω[t₀ ,T] норму

T h()⋅ = sup ^∫ h( )τ , u( )τ dτ, I[u()⋅ ]≤1. (5)

u_{( )}

t0

В силу предположений 1)-3) формула (5) действительно определяет некоторую норму ⋅ на основном пространстве Ω[t₀ ,T] [16], при этом естественная норма

^∗ в сопряженном пространстве Ω^∗[t₀,T] совпадает с функционалом I[u(⋅)]. Таким образом, задача об оптимальном управлении свелась к следующей функциональной проблеме моментов.

Задача 1. Пусть _h^{[ ]1} , ,_h^[n] ∈H , где H – линейное нормированное простран-

ство и c₁, ,c_n ∈R¹ . Требуется найти линейный функционал ϕ⁰ ∈H ^∗ , для которого

ϕ⁰[h^[i]]= c_i ,i =1, ,n , (6)

и такой, что среди всех других функционалов ϕ∈H ^∗ , удовлетворяющих условию (6), он имел бы наименьшую норму _⋅ ^∗ .

Выведем необходимые и достаточные условия разрешимости задачи 1. Прежде всего, заметим, что если c₁ = = c_n = 0 , то решением проблемы моментов будет тривиальный функционал. Поэтому в дальнейшем этот случай рассматривать не будем. Полагаем

⎧ n _{[ ]}i1 n ⎫

Q = ⎨h = ∑l_ihl_i ∈R ,i =1, ,n, ∑l_ic_i =1⎬.

⎩ i=1 i=1 ⎭

Справедливы следующие утверждения.

Лемма 1. Пусть ϕ∈H ^∗ линейный функционал, удовлетворяющий условию

(6). Тогда

ϕ[h]=1, ∀h∈Q .

Доказательство. Для всех h∈Q имеем

n n n

.

⎣ i=1 ⎦ i=1 i=1

Лемма доказана.

Лемма 2. Существует элемент h⁰ ∈Q , удовлетворяющий условию

= min h . (7)

h∈Q

Доказательство. Сначала предположим, что элементы h^{[ ]i} , i =1, ,n ли-

n нейного пространства H независимы, т. е., что для них равенство ∑α_ih^{[ ]i} = 0

i=1

возможно лишь при нулевом наборе констант α_i ∈ R¹, i =1, ,n.

В линейном пространстве H рассмотрим последовательность элементов

n n

{ }h_s , h_s = ∑l_ish^{[ ]i} ∈ H, ∑c_il_is =1, s =1,2, , (8)

i=1 i=1

для которой lim h_s = inf h . Заметим, что справедливо неравенство

s→∞ h∈Q

0 ≤ inf h < +∞. (9)

h∈Q

Для каждого номера s =1,2, обозначим

lsmax = max lis .

i∈{1, ,n}

Достаточно показать, что последовательность {l_s^max } ограничена. Допустим противное. Полагаем

∗ lis

lis =

max , i =1, ,n, s =1,2,

ls

Очевидно, что l_is^∗ ≤1, i =1, ,n, и для всех номеров s =1,2, среди чисел l₁^∗_s , ,l_ns^∗

⎛l1∗s ⎞

⎜ ⎟

хотя бы одно является единицей. Тогда последовательность векторов l_s^∗ = ⎜ ⎟

⎜ _∗ ⎟

⎝^lns ⎠

⎛l10∗ ⎞

⎜ ⎟

имеет предельную точку l

⎜ ⎟ ≠ 0. В силу линейной независимости элемен-

⎜ _∗ ⎟

⎝^ln0 ⎠

n тов h^{[ ]i} ∈ H, i =1, ,n, будет выполнено

. Каждый член последователь-

i=1

ности (8) можно представить в виде

h_s = l_smax ⎛⎜∑n l_is∗ h[ ]i ^⎞⎟, s =1,2, .

⎝ i=1 ⎠

Переходя к пределу в равенстве

n

∑lis∗ h[ ]i, s =1,2,

i=1

по подходящей подпоследовательности, получим противоречие с условием (9). Случай, когда набор элементов h^[i] ∈ H, i =1, ,n не является независимым, сводится к предыдущему случаю путем замены в (8) зависимых элементов линейными комбинациями независимых элементов. Лемма доказана. Определение 2. Элемент

n

h0 = ∑li0h[ ]i ,

i=1

удовлетворяющий условию (7), назовем «минимальным», а его норму обозначим

символом ρ⁰ .

Теорема 1 (необходимые условия разрешимости проблемы моментов). Пусть функционал ϕ⁰ ∈H ^∗ решает функциональную проблему моментов (задачу

1). Тогда

^{0 0} 1

ρ > 0 и ϕ ≥ ₀ .

ρ

Доказательство. Предположим, что ρ⁰ = 0 . Тогда h⁰ = 0. Последнее невозможно. Действительно, с одной стороны, из линейности функционала ϕ⁰ вытекает, что ϕ⁰ [h⁰ ]= 0 , а, с другой стороны, в силу h⁰ ∈Q и леммы 1 должно быть ϕ⁰ [h⁰ ]=1. Таким образом, ρ⁰ > 0 .

∗

С учетом вложения Q ⊂ H дадим оценку для величины ϕ⁰ . Имеем:

₀ ∗ ϕ(h) ϕ(h) 1 1 1

ϕ = sup≥ sup= sup = = ₀ . h∈H h h∈Q h h∈Q h inf h ρ

h∈Q

Теорема доказана.

Обозначим через

~ ⎧ ^{n [ ]i1} ⎫

H = ⎨h = ∑l_ihl_i ∈R ,i =1, ,n, ⎬

⎩ i=1 ⎭

~ подпространство пространства H . Заметим, что для произвольного h∈H разложение

n

h = ∑l_ih^{[ ]i} (10)

i=1

не всегда однозначно. Тем не менее, справедливо следующее утверждение.