0 ~ n
Лемма 3. Пусть ρ > 0 . Тогда для любого h∈H величина ∑lici , где l1, ,ln
i=1
– коэффициенты разложения (10), полностью определяется элементом h ∈ H ∗ и не зависит от конкретного вида разложения (10).
~
Доказательство. Допустим противное. Тогда найдется h∈H , для кото-
рого
n n n n
h = ∑li 'h[ ]i = ∑li ''h[ ]i , ∑li 'ci ≠ ∑li ''ci . (11)
i=1 i=1 i=1 i=1
Из условий (11) выводим, что
∑(li '−li '')h[ ]i = 0, ∑(li '−li '')ci ≠ 0 . (12) i=1 i=1 n Первое равенство в (12) разделим на величину ∑(li '−li '')ci ≠ 0. Имеем | |||
i=1 | |||
n (li '−li '') [ ]i ∑ h = 0. n i=1 ( ) ∑ l j '−l j '' c j j=1 Обозначим (l '−l '') li = n i i , i = 1, ,n . ∑(l j '−l j '')c j j=1 n Тогда ∑lici =1 и равенство (13) запишется в виде i=1 n n ∑lih[ ]i = 0, ∑lici =1. i=1 i=1 | (13) |
Последнее означает, что 0∈Q, а это противоречит условию ρ0 > 0 . Лемма доказана.
Теорема 2 (достаточные условия разрешимости проблемы моментов). Пусть ρ0 > 0 . Тогда проблема моментов имеет решение – функционал ϕ0 . При этом
0 ∗ 1
ϕ = 0 .ρ
Доказательство. Определим функционал ϕ~: H~ → R1 , положив
ϕ~[ ]h = ∑n lici , h∈H~ . (14)
i=1
Здесь li ,i =1, ,n – коэффициенты разложения (10). В силу леммы 3 функционал (14) определен однозначно. Кроме того, он линеен. Действительно, для всех
~ α,β∈R1, h,g∈H имеет место равенство ϕ~[αh + βg]=ϕ~⎡⎢α∑n li[ ]h h[ ]i + β∑n li[ ]g h[ ]i ⎤⎥ =ϕ~⎡⎢∑n
[ ] [ ] ci =⎣ i=1 i=1 ⎦ ⎣ i=1 ⎦ i=1
n n
=α∑li[ ]h сi + β∑li[ ]g ci =αϕ~[ ]h + βϕ~[ ]g .
i=1 i=1
Выполнение равенств
ϕ~[h[i]]=ϕ~[0⋅h[ ]1 + +1⋅h[i] + + 0⋅h[n]]= ci , i =1, ,n.
для функционала ϕ~ очевидно.
Обозначим
⎛ l1 ⎞n
⎜ ⎟ ⎧⎫l = ⎜ ⎟, L = ⎨l∑lici =1⎬
⎜⎝ln ⎟⎠ ⎩i=1 ⎭
и вычислим норму функционала ϕ~ как линейного функционала, определенного
~ на линейном нормированном пространстве H . Имеем:
=По следствию из теоремы Хана-Банаха [16 ] линейный функционал ϕ~
~ может быть продолжен с подпространства H на все пространство H без увеличения его нормы. Обозначим это продолжение через ϕ0 . Легко видеть, что для функционала ϕ0 выполнены условия (6), а величина его нормы совпадает с нижней оценкой из теоремы 1 для нормы функционала, решающего задачу 1. Следовательно, функционал ϕ0 является искомым. Теорема доказана. Теорема 3(принцип максимина). Пусть ϕ0 ∈H ∗ – решение задачи 1, h0 ∈Q
⎧ ∗⎫
– «минимальный» элемент и G = ⎨ϕ∈H ϕ ⎬. Тогда⎩⎭
ϕ0 (h0 )= maxϕ[h0 ].
ϕ∈G
Доказательство. Для всякого функционала ϕ∈G справедливо
ϕ(h0 ) ≤ ϕ ∗ h0 = 10 ⋅ρ0 =1. ρС другой стороны, в силу леммы 1 имеет место равенство ϕ(h 0 )=1. Теорема доказана.
Применим теоремы 1-3 к рассматриваемой линейной задаче теории оптимального управления. В результате получим следующее утверждение.
Теорема 4. Задача оптимального управления имеет решение тогда и только тогда, когда для r-мерной вектор-функции h0 (⋅), найденной из условия (7), где ⋅ определяется формулой (5), а⎧ n [ ]i⎫
Q = ⎨h( )⋅ = ∑l hi ( )⋅
l∈L⎬,⎩ i=1 ⎭
справедливо неравенство h = ρ0 > 0. При этом I , и оптимальноеуправление на минимальном элементе h0обладает свойством максимума
T T
∫
h0 ( )τ , u 0 ( )τ dτ= max ∫ h0 ( ) ( )τ , uτ dτ. (15)I
t0 ρ t0
Опираясь на утверждение теоремы 4, сформулируем правило решения задачи об оптимальном управлении.
На первом этапе следует посредством формулы (5) ввести норму на линейном пространстве r -мерных функций Ω[t0 ,T]. На втором – строится «минимальный» элемент h0 ()⋅ из условия (7), и на третьем – из условия (15) определяется оптимальное управление u0 (⋅).
4.2. Управляемость линейной динамической системы. Важной характеристикой динамической системы является ее управляемость. Определение 3. Линейная динамическая система
x = A t x( ) + B t u( ) (1)
называется вполне управляемой на промежутке времени [t T0, ], если для любых векторов x0,xT ∈Rn существует такое программное управление u( )⋅ , что для него выполняется равенство
x(⋅,t x u0, 0, (⋅)) = xT .
Относительно системы (1) дополнительно предположим, что элементы матриц A t( ) и B( )t непрерывно дифференцируемы не менее чем n −1 раз по переменной t на промежутке времени [t T0, ]. Полагаем
d d
L t1 ( ) = B t( ), L2 ( )t = A t L t( ) 1 ( )−
L t1 ( ), ,Ln ( )t = A t L( ) n−1 ( )t − Ln−1 ( )t . dt dtСконструируем матрицу
K t( ) = (L t1 ( ), ,Ln (t))
размера n×(r n⋅ ).
Теорема 5. Пусть существует момент времени t∗ ∈[t T0, ] такой, что rang K t⎡⎣ ( )∗ ⎤⎦ = n . Тогда система (1) вполне управляема на промежутке времени
[t T0, ].
Доказательство. Достаточно установить, что для всех c∈Rn, c ≠ 0 спра-
ведливо неравенство
nρ0 ( )c =
h0 (c,⋅) = minn ∑l hi [ ]i ( )⋅∑l ci i =1i=1
i=1
= minn
(X T[ ,⋅]B( )⋅ )T l =