Смекни!
smekni.com

Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 33 из 49)

l ci i =1

i=1


=

(X T[ ,⋅]B( )⋅ )T l0 ( )c
> 0.

Допустим противное. Тогда существует вектор cRn такой, что ρ0 (c) = 0. Это возможно, если по переменной t на промежутке [t T0, ] выполняется тождество

(X T t B t[ , ] ( ))T l0 ( )c= (X T t L t[ , ] 1 ( ))T l0 (c) = (L t1 ( ))T (X T t[ , ])T l0 ( )c= 0 . (2)

Продифференцируем (2) по переменной t . Имеем

d ⎡(L t( ))T (X T t[ , ])T l0 ( )c⎤ =
d ⎡(X T t B t[ , ] ( ))T l0 ( )c⎤ = dt 1 dt ⎣ ⎦

d T 0 ∗ ⎛ d T T 0 ∗

= −X T t A t B t[ , ] ( ) ( )+ X T t[ , ]

B t( )l ( )c = −A t B t( ) ( )+
B t( )(X T t[ , ]) l ( )c =

dt ⎠ ⎝ dt

d T T 0 ∗ T T 0 ∗

= −A t L t( ) 1 ( )+

L t1 ( )(X T t[ , ]) l ( )c = (L2 ( )t ) (X T t[ , ]) l ( )c = 0 . (3)

dt

Дифференцируя (3) по переменной t еще n−2 раза включительно по аналогии получим

dtd ⎣⎡(L2 ( )t )T (X T t[ , ])T l0 ( )c⎤ = (L3 ( )t )T (X T t[ , ])T l0 ( )c= 0,

………………………………………………………

d ⎡(L ( )t )T (X T t[ , ])T l0 ( )c⎤ = (L ( )t )T (X T t[ , ])T l0 ( )c= 0 .

dt n1 n

t ∈[t T0, ]. (4)

Обозначим

g c t( , ) = (X T t[ , ])T l0 (c)∈Rn, t∈[t T0, ].

Заметим, что g c t( , ) ≠ 0 для всех t ∈[t T0, ]. Перепишем тождества (2)-(4) в виде

(L t1 ( ))T g c t( , ) = 0, (L2 ( )t )T g c t( , ) = 0, ,(Ln ( )t )T g c t( , ) = 0, t∈[t T0, ]. (5) Из равенств (5) следует, что в любой момент времени t ∈[t T0, ] ненулевой nмерный вектор g c t( , ) ортогонален каждому из столбцов матрицы K t( ). В том числе и в момент времени t∈[t T0, ] он ортогонален каждому из n линейно независимых столбцов матрицы K t( ). Последнее невозможно. Следовательно, ρ0 ( )c≠ 0. Теорема доказана.

Пример 1. Покажем, что динамическая система из примера 2.7.

x1 = x3,

x2 = x4,

x3 = (cost x) 3 +tx4 +u1,

1

x2 =

x3 +(sint x) 4 +u2 t +1
но находим
⎛0

⎜ ⎜0

A t( ) = ⎜0

⎜ ⎜0

0 0 0 0 1 0 cost 1 1+t 0 ⎞ ⎟ ⎛0 1 ⎜ ⎟ 0 t , L t1 ( ) = B = ⎟ ⎜1 sint⎟⎟ ⎜⎜⎝0 ⎠ ⎛ 1 0⎞ ⎜ ⎟ 0 d ⎜ 0 ⎟, L2 ( )t = A t L t( ) 1 ( )− L t1 ( ) = ⎜cost 0⎟ dt ⎜ ⎟ 1⎟⎠ ⎜⎜ 1

⎝1+t

0 ⎞

⎟ 1

t ,

⎟ sint⎟ ⎠

⎛0 ⎜ ⎜0 K t( ) = ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝ 0 1 0 ⎞ ⎟ 0 0 1 ⎟ 0 cost t . ⎟ 1 ⎟ 1 sint⎟ 1+t
Вычислим определитель матрицы K t( ). Имеем

является вполне управляемой. Действительно, достаточно установить линейную независимость первых четырех столбцов матрицы K t( ). Последователь-

0

0 1 0

0 0 0 1 0 0 1

1 0

1 0 cost t0 t=1≠ 0 .

0 1

1 0 1 sint

0 1

sint

1+t

Таким образом, ранг матрицы K t( ) равен четырем при всех t ∈[0,1] и рассматриваемая динамическая система является вполне управляемой.

В частности, пусть A = const, B = const . Тогда K = (B AB, , , An1B) и проверка полной управляемости системы (1) сводится к доказательству равенства rang K[ ] = n.

Пример 2. Покажем, что динамическая система из примера 2.3.

x1 = 2x1 + 2x2 −30x3 +u1, x2 =10x1 x2 −35x3 +u2, x3 = 2x1 x2 + x3 +u3,

является вполне управляемой. Действительно, достаточно установить линейную независимость первых трех столбцов матрицы K . В силу

⎛1

B = ⎜0

⎜0

этот факт очевиден.

0 1 0 0⎞ ⎟ 0 1⎟⎠

4.3. Управление по критерию «минимум энергии». Конкретизируем процедуру построения оптимального управления, описанную выше, для случая, когда минимизируемый функционал имеет вид

T

I[u()⋅ ]= ⎢∫

u( ) ( )τ , uτ
dτ⎥ . (1)

⎢⎣t0

Эта величина играет роль оценки количества энергии, затрачиваемой в процессе управления динамическим объектом. Нетрудно видеть, что функционал (1) удовлетворяет условиям 1)-3) предыдущего пункта.

Для реализации первого этапа процедуры построения оптимального управления необходимо решить следующую задачу:

T T

u( )τ , h( )τ
dτ→ max, ∫
u( )τ , u( )τ
dτ=1.

t0 t0

Эта задача является изопериметрической задачей вариационного исчисления. Ее решение записывается в виде

uh ()

,

где постоянная λ∈R1 вычисляется путем подстановки управления uh (⋅) в уравнение связи. В результате вычислений получим

1 ⎡T

T

λ= − 2 ⎢⎢⎣t∫0 h( ) ( )τ, hτ
dτ⎥⎥⎦ , uh ()⋅ = h()⋅ ⎣⎢⎢t∫0
h( ) ( )τ , hτ
dτ⎦⎥⎥ .

Тогда норма на пространстве Ω[t0 ,T] определяется формулой

T
T
h()⋅ = ⎢∫ uh ( )τ, uh ( )τ
dτ⎥ = ⎢∫
h( ) ( )τ, hτ
dτ⎥ .