∑l ci i =1
i=1
=
(X T[ ,⋅]B( )⋅ )T l0 ( )c > 0.Допустим противное. Тогда существует вектор c∗ ∈Rn такой, что ρ0 (c∗ ) = 0. Это возможно, если по переменной t на промежутке [t T0, ] выполняется тождество
(X T t B t[ , ] ( ))T l0 ( )c∗ = (X T t L t[ , ] 1 ( ))T l0 (c∗ ) = (L t1 ( ))T (X T t[ , ])T l0 ( )c∗ = 0 . (2)
Продифференцируем (2) по переменной t . Имеем
d ⎡(L t( ))T (X T t[ , ])T l0 ( )c∗ ⎤ = d ⎡(X T t B t[ , ] ( ))T l0 ( )c∗ ⎤ = dt ⎣ 1 ⎦ dt ⎣ ⎦⎛ d ⎞T 0 ∗ ⎛ d ⎞T T 0 ∗
= −⎜ X T t A t B t[ , ] ( ) ( )+ X T t[ , ]
B t( )⎟ l ( )c = −⎜ A t B t( ) ( )+ B t( )⎟ (X T t[ , ]) l ( )c =⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
⎛ d ⎞T T 0 ∗ T T 0 ∗
= −⎜ A t L t( ) 1 ( )+
L t1 ( )⎟ (X T t[ , ]) l ( )c = (L2 ( )t ) (X T t[ , ]) l ( )c = 0 . (3)⎝ dt ⎠
Дифференцируя (3) по переменной t еще n−2 раза включительно по аналогии получим
dtd ⎣⎡(L2 ( )t )T (X T t[ , ])T l0 ( )c∗ ⎦⎤ = (L3 ( )t )T (X T t[ , ])T l0 ( )c∗ = 0,………………………………………………………
d ⎡(L ( )t )T (X T t[ , ])T l0 ( )c∗ ⎤ = (L ( )t )T (X T t[ , ])T l0 ( )c∗ = 0 .
dt ⎣ n−1 ⎦ n
t ∈[t T0, ]. (4)
Обозначим
g c t( ∗, ) = (X T t[ , ])T l0 (c∗ )∈Rn, t∈[t T0, ].
Заметим, что g c t( ∗, ) ≠ 0 для всех t ∈[t T0, ]. Перепишем тождества (2)-(4) в виде
(L t1 ( ))T g c t( ∗, ) = 0, (L2 ( )t )T g c t( ∗, ) = 0, ,(Ln ( )t )T g c t( ∗, ) = 0, t∈[t T0, ]. (5) Из равенств (5) следует, что в любой момент времени t ∈[t T0, ] ненулевой n−мерный вектор g c t( ∗, ) ортогонален каждому из столбцов матрицы K t( ). В том числе и в момент времени t∗ ∈[t T0, ] он ортогонален каждому из n линейно независимых столбцов матрицы K t( ∗ ). Последнее невозможно. Следовательно, ρ0 ( )c∗ ≠ 0. Теорема доказана.
Пример 1. Покажем, что динамическая система из примера 2.7.
x1 = x3,
x2 = x4,
x3 = (cost x) 3 +tx4 +u1,
1
x2 =
x3 +(sint x) 4 +u2 t +1но находим | |||||
⎛0 ⎜ ⎜0 A t( ) = ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝ | 0 0 0 0 | 1 0 cost 1 1+t | 0 ⎞ ⎟ ⎛0 1 ⎜ ⎟ 0 t ⎟, L t1 ( ) = B = ⎜ ⎟ ⎜1 sint⎟⎟ ⎜⎜⎝0 ⎠ | ⎛ 1 0⎞ ⎜ ⎟ 0 d ⎜ 0 ⎟, L2 ( )t = A t L t( ) 1 ( )− L t1 ( ) = ⎜cost 0⎟ dt ⎜ ⎟ 1⎟⎠ ⎜⎜ 1 ⎝1+t | 0 ⎞ ⎟ 1 ⎟ t ⎟, ⎟ sint⎟⎟ ⎠ |
⎛0 ⎜ ⎜0 K t( ) = ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝ | 0 1 0 ⎞ ⎟ 0 0 1 ⎟ 0 cost t ⎟ . ⎟ 1 ⎟ 1 sint⎟ 1+t ⎠ | ||||
Вычислим определитель матрицы K t( ). Имеем |
0
0 1 00 0 0 1 0 0 1
1 0
1 0 cost t0 t=1≠ 0 .
0 1
1 0 1 sint
0 1
sint1+t
Таким образом, ранг матрицы K t( ) равен четырем при всех t ∈[0,1] и рассматриваемая динамическая система является вполне управляемой.
В частности, пусть A = const, B = const . Тогда K = (B AB, , , An−1B) и проверка полной управляемости системы (1) сводится к доказательству равенства rang K[ ] = n.
Пример 2. Покажем, что динамическая система из примера 2.3.
x1 = 2x1 + 2x2 −30x3 +u1, x2 =10x1 − x2 −35x3 +u2, x3 = 2x1 − x2 + x3 +u3,
является вполне управляемой. Действительно, достаточно установить линейную независимость первых трех столбцов матрицы K . В силу
⎛1 ⎜ B = ⎜0 ⎜0 ⎝ этот факт очевиден. | 0 1 0 | 0⎞ ⎟ 0⎟ 1⎟⎠ |
4.3. Управление по критерию «минимум энергии». Конкретизируем процедуру построения оптимального управления, описанную выше, для случая, когда минимизируемый функционал имеет вид
⎡T ⎤
I[u()⋅ ]= ⎢∫
u( ) ( )τ , uτ dτ⎥ . (1)⎢⎣t0 ⎥⎦
Эта величина играет роль оценки количества энергии, затрачиваемой в процессе управления динамическим объектом. Нетрудно видеть, что функционал (1) удовлетворяет условиям 1)-3) предыдущего пункта.
Для реализации первого этапа процедуры построения оптимального управления необходимо решить следующую задачу:
T T
∫
u( )τ , h( )τ dτ→ max, ∫ u( )τ , u( )τ dτ=1.t0 t0
Эта задача является изопериметрической задачей вариационного исчисления. Ее решение записывается в виде
uh ()
,где постоянная λ∈R1 вычисляется путем подстановки управления uh (⋅) в уравнение связи. В результате вычислений получим
1 ⎡T ⎤
⎡T ⎤ λ= − 2 ⎢⎢⎣t∫0 h( ) ( )τ, hτ dτ⎥⎥⎦ , uh ()⋅ = h()⋅ ⎣⎢⎢t∫0 h( ) ( )τ , hτ dτ⎦⎥⎥ .Тогда норма на пространстве Ω[t0 ,T] определяется формулой
⎡T ⎤ ⎡T ⎤ h()⋅ = ⎢∫ uh ( )τ, uh ( )τ dτ⎥ = ⎢∫ h( ) ( )τ, hτ dτ⎥ .