Смекни!
smekni.com

Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 34 из 49)

⎢⎣t0 ⎥⎦ ⎢⎣t0 ⎥⎦

Второй этап процедуры, состоящий в построении «минимального» элемента h0 ()⋅ , сводится к задаче математического программирования следующего ви-

да:

Tn nn T

∫ ∑l hi [ ]i ( )τ ,∑l hi [ ]i ( )τ τd = ∑ ⎢∫
h[ ]i ( )τ , h[ ]j ( )τ τd l li j → min, lL.

t0i=1 i=1i j, =1 t0

Или по-другому:

n n

i∑, j=1αijlil j → min, ∑i=1 cili =1,

где

T

αij = ∫
h[ ]i ( )τ , h[ ]j ( )τ τd , ,i j =1, ,n. (2)

t0

l10 ⎞

⎜ ⎟

Пусть вектор l 0 = ⎜ ⎟ – решение этой задачи. Тогда «минимальный» элемент

⎜⎝ln0 ⎟⎠

вычисляется по формуле

n h

l h .

i=1

Заключительный третий этап построения оптимального управления снова сводится к решению изопериметрической задачи вариационного исчисления

tT
u( )τ , h0 ( )τ
dτ→ max, tT0
u( )τ , u( )τ dτ= ( 10 )2 .

0 ρ

Ее решением является вектор-функция

0 1 0 1

U ( )⋅ = −

h ( )⋅ , µ∈R , 2µ

где

T

µ ⎢∫

h0 ( )τ , h0 ( )τ
dτ⎥ ρ0 = − .

⎢⎣t0

Таким образом, оптимальное управление, решающее задачу теории оптимального управления, имеет вид

U

h l h h , (3)

(ρ0 ) (ρ0 ) i=1 i=1

0 li0

где νi =

2 ,i =1, ,n . Очевидно, что

0 )

0 ⎡T 0 0⎤1

I U( )⋅ ⎤= ⎢⎢⎣t0
U ( )τ , u ( )τ τd ⎥⎦⎥ =
ρ0 .

Воспользовавшись соотношениями (3), укажем другой способ формирования оптимального управления, который быстрее и проще приводит к цели. Подставив выражение (3) в равенство (1.3), получим

Tnn Tn

ci = ∫ h[ ]i ( )τ ν τ τ ν, ∑ 0j h[ ]j ( ) d = ∑ 0j
h[ ]i ( )τ , h[ ]j ( )τ τ ναd = ∑ 0j ij , i =1, ,n . (4)

t0=1j=1 t0 j=1 j

Таким образом, решение задачи об оптимальном управлении можно начинать непосредственно с решения системы линейных алгебраических уравнений

(4), а оптимальное программное управление вычислять по формуле (3).

Итак, оптимальное управление для случая минимизации «энергии» единственно, непрерывно в каждой точке интервала [t0 ,T], пропорционально «минимальному» элементу h0 ()⋅ и зависит линейно от краевых условий. Пример 3*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект

x1 = 2x1 + 2x2 −30x3 +u1, x2 =10x1 x2 −35x3 +u2, x3 = 2x1 x2 + x3 +u3, t0 = 0,T =1;

x10 = −3, x20 = 2, x30 =1; xT1 = −80.7746, xT 2 = −147,179, xT3 = −8.94415;

1

I U⎡ ( )u ( ) u ( ) u ( ) . (5)

⎣ 0 ⎦

В рассматриваемом примере дифференциальные уравнения движения динамического объекта и начальное положение фазового вектора взяты из примера 2.3. Конечное положение фазового вектора совпадает с той точкой фазового пространства, в которую переводит в конечный момент времени фазовый вектор оптимальное управление из примера 2.3.

Последовательно вычисляем

x11 [t,τ] x12 [t,τ] x13 [t,τ]⎞

X t[ ,τ] = x21 [t,τ] x22 [t,τ] x23 [t], H t[ ,τ] = X t[ ,τ]B = X t[ ,τ],

x31 [t,τ] x32 [t,τ] x33 [t,τ]

x11 [1,τ]⎞ ⎛ x21 [1,τ]⎞ ⎛ x31 [1,τ]⎞

h[ ]1 ( )τ = ⎜⎜ x12 [1,τ]⎟⎟ , h[ ]2 ( )τ = ⎜⎜ x22 [1,τ]⎟⎟ , h[ ]3 ( )τ = ⎜⎜ x32 [1,τ τ]⎟⎟, ∈[0,1],

⎜⎝ x13 [1,τ]⎠⎟ ⎝⎜ x23 [1,τ]⎟⎠ ⎝⎜ x33 [1,τ]⎠⎟

1 ⎛α α α11 12 13 ⎞ ⎛4770.34 8405.45 469.812⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ αij = ∫h[ ]1 ( )τ , h[ ]i ( )τ τd , ,i j =1,2,3 ⇒ α α α21 22 23 = 8405.45 14824.4 832.786.

0 ⎜⎝α α α31 32 33 ⎟⎠ ⎜⎝469.812 832.786 48.3062⎟⎠

c1 ⎞ ⎛ xT1 ⎞ ⎛ x10 ⎞ ⎛−67.4743⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

c2 ⎟ = ⎜ xT 2 ⎟− X [1,0]⎜ x20 ⎟ = −⎜ 115.885⎟.

⎝⎜c3 ⎠⎟ ⎝⎜ xT3 ⎟⎠ ⎜⎝ x30 ⎟⎠ ⎜⎝−5.34546⎠⎟

Запишем систему линейных алгебраических уравнений (4)

α11 1ν αν αν+ 12 2 + 13 3 = c1, αν αν αν21 1 + 22 2 + 23 3 = c2, . αν αν αν31 1 + 32 2 + 33 3 = c3

Ее решением будут числа

ν10 = 0.0682083, ν20 = −0.0954224, ν30 = 0.871024 .

Тогда оптимальное управление определяется по следующей формуле:

U

t h h h t .

Вычислим функционал (5) на оптимальном управлении

0 ⎡ 1 0 0

I U⎡ ( )= ⎢
U ( )τ ,U ( )τ τd ⎥ =1.34153.

⎣ 0 ⎦

Заметим, что для оптимального управления из примера 2.3 функционал (5) принимает значение 3 =1.73205 >1.34153. Такой результат является естественным, поскольку оптимальное управление в примере 2.3 определялось из условия минимума другого критерия, а не функционала (5).

Проверим проведенные вычисления. Покажем, что полученное управление переводит фазовый вектор из положения x0 в положение xT за время [0,1]. Действительно проинтегрируем систему дифференциальных уравнений