Смекни!
smekni.com

Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 35 из 49)

x1 = 2x1 + 2x2 −30x3 +U10 (t), x2 =10x1 x2 −35x3 +U20 ( )t , x3 = 2x1 x2 + x3 +U30 ( )t

с начальными условиями x10 = −3, x20 = 2, x30 =1. В результате получим

⎛0.000303⎞

x0 ( )1 − xT = ⎜0.000484⎟ ≈ 0 .

⎝0.000011

Пример 4*. Дифференциальные уравнения движения динамического объекта имеют вид

x1 = x3,

x2 = x4 ,

x3 = (cost x) 3 +tx4 +u1,

1

x2 =

x3 +(sint x) 4 +u2 , t +1 t0 = 0,T =1,

x10 = x20 = x30 = x40 = 0, xT1 = 0.640532, xT 2 = 0.491302, xT3 =1.61672, xT 4 =1.31002,

1

I U⎡ ( )⎤u ( ) u ( ) . (6)

⎣ 0 ⎦

В рассматриваемом примере дифференциальные уравнения движения динамического объекта и начальное положение фазового вектора взяты из примера 2.7. Конечное же положение фазового вектора совпадает с той точкой фазового пространства, в которую переводит в конечный момент времени фазовый вектор оптимальное управление из примера 2.

Последовательно вычисляем

x11 [t,τ] x12 [t,τ] x13 [t,τ] x14 [t,τ]⎞ ⎛0 0⎞ ⎛ x13 [t,τ] x14 [t,τ]⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

X t[ ,τ] = ⎜⎜ xx3121 [[tt,,ττ]] xx3222 [[tt,,ττ]] xx3323 [[tt,,ττ]] xx3424 [[tt,,ττ]]⎟⎟, H t[ ,τ] = X t[ ,τ]⎜⎜10 00⎟⎟ = ⎜xx3323 [[tt,,ττ]] xx3424 [[tt,,ττ]]⎟⎟

⎜⎜⎝ x41 [t,τ] x42 [t,τ] x43 [t,τ] x44 [t,τ]⎟⎠⎟ ⎜⎜⎝0 1⎟⎟⎠ ⎝⎜⎜ x43 [t,τ] x44 [t,τ]⎟⎟⎠

x [1,τ]⎞ ⎛ x [1,τ]⎞

h[ ]1 ( )τ = x13 [1,τ]⎞ , h[ ]2 τ

14 1,τ

αij

x23 [1,τ]⎞ [ ]3 33 [ ]4 43

= , h τ = , h τ = , τ∈[0,1],

24 [1,τ] 34 [1,τ] 44 [1,τ]

1

= ∫h[ ]1 ( )τ , h[ ]i ( )τ τd , i j, =1,2,3,4 ⇒

0


⎛α α α α11 12 13 14 ⎞ ⎛0.766436 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜α α α α21 22 23 24 ⎟ = ⎜0.303602 ⎜α α α α31 32 33 34 ⎟ ⎜ 1.51071 ⎜⎜α α α α41 42 43 44 ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝0.779061 ⎝ 0.303602 0.557218 0.764328 1.12012 1.51071 0.764328 3.3364 1.89574 0.779061⎞ ⎟ 1.12012 , 1.89574 ⎟ ⎟ 2.6037

c1 ⎞ ⎛ xT1 ⎞ ⎛ x10 ⎞ ⎛0.640532⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ T 2 ⎟− X [1,0]⎜ x20 ⎟ = ⎜0.491302⎟. c x

c3 ⎟ ⎜ xT3 ⎟ ⎜ x30 ⎟ ⎜ 1.61672 ⎟

⎜⎜⎝c4 ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ xT 4 ⎟⎟⎠ ⎝⎜⎜ x40 ⎟⎠⎟ ⎜⎜⎝ 1.31002 ⎟⎟⎠

Запишем систему линейных алгебраических уравнений (4)

α11 1ν αν αν αν+ 12 2 + 13 3 + 14 4 = c1, αν αν αν αν21 1 + 22 2 + 23 3 + 24 4 = c2,

αν αν αν αν31 1 + 32 2 + 33 3 + 34 4 = c3, αν αν αν αν41 1 + 42 2 + 43 3 + 44 4 = c4.

Ее решением будут числа

ν10 = −0.982227, ν20 = −0.833006, ν30 = 0.790821, ν40 = 0.579604 .

Тогда оптимальное управление определяется по следующей формуле:

U

t h h h h t .

Вычислим функционал (5) на оптимальном управлении

⎡ 1 ⎤

00 0

I U( )⋅ ⎤= U ( )τ ,U ( )τ τd ⎥ = 0.999712.

⎣ 0 ⎦

Заметим, что для оптимального управления из примера 2.7 функционал

(6) принимает значение 1.0 > 0.999712. Такой результат является естественным, поскольку оптимальное управление в примере 2.7 определялось из условия минимума другого критерия, а не функционала (6).

Проверим проведенные вычисления. Покажем, что полученное управление

U 0 ( )⋅ переводит фазовый вектор из положения x0 в положение xT за время [0,1]. Действительно проинтегрируем систему дифференциальных уравнений

x1 = x3,

x2 = x4 ,

x3 = (cost x) 3 +tx4 +U10 (t),

1 0

x2 =

x3 +(sint x) 4 +U2 ( )t , t +1

с начальными условиями x10 = x20 = x30 = x40 = 0. В результате получим

⎛ −1.68561⎞

⎜ ⎟ x

x .

⎜ −1.6007 ⎟

⎜⎜⎝−2.40392⎟⎟⎠

4.4. Управление по критерию «минимум силы». Конкретизируем процедуру построения оптимального управления, описанную выше, для случая, когда минимизируемый функционал имеет вид

I u( )⋅ ⎤= vrai max u( )τ = vrai max u( )τ τ, u( ) . (1)

τ∈[t T0, ]τ∈[t T0, ]

В случае, когда вектор управляющих параметров представляет собой силу (обобщенную силу), функционал (1) оценивает наибольшее значение по модулю этой силы. Отсюда следует вынесенное в заголовок параграфа название рассматриваемого функционала. Нетрудно видеть, что функционал (1) удовлетворяет условиям 1)-3) пункта 4.2.

Для реализации первого этапа процедуры построения оптимального управления необходимо решить следующую задачу:

T

t0
u( )τ , h( )τ τd → max, vrayτ∈[t T0max, ] u( )τ τ, u( ) =1. (2)

Максимум интеграла в (2) достигается, когда подынтегральная функция принимает максимальное значение почти всюду на промежутке [t T0, ]. Максимальное значение этой функции можно получить, решив следующую задачу математического программирования:

u h, → max, u u, =1, u h, ∈Rs . (3)

Максимальным значением целевой функции в (3) служит величина h h, . Тогда норма на пространстве Ω[t0 ,T] определяется формулой

T h( )⋅ = ∫ h( )τ , h( )τ τd .

t0

Второй этап процедуры – построение «минимального» элемента h0 (⋅) – сводится к задаче математического программирования следующего вида:

T n n T n

∫ ∑l hi [ ]i ( )τ , ∑l hi [ ]i ( )τ τd = ∫∑ h[ ]i ( )τ , h[ ]j ( )τ ll di j τ→ min, lL,

t0 =1 i=1 t0 i j, =1 i

l10 ⎞

⎜ ⎟

Пусть вектор l 0 = ⎜ ⎟ – решение этой задачи. Тогда «минимальный» элемент и

⎜⎝ln0 ⎟⎠

его норма вычисляются по формулам

n T

h
l h 0 h0 ( )τ , h0 ( )τ τd

i=1 t0

соответственно.