x1 = 2x1 + 2x2 −30x3 +U10 (t), x2 =10x1 − x2 −35x3 +U20 ( )t , x3 = 2x1 − x2 + x3 +U30 ( )t
с начальными условиями x10 = −3, x20 = 2, x30 =1. В результате получим
⎛0.000303⎞
x0 ( )1 − xT = ⎜⎜0.000484⎟⎟ ≈ 0 .
⎜⎝0.000011⎟⎠
Пример 4*. Дифференциальные уравнения движения динамического объекта имеют вид
x1 = x3,
x2 = x4 ,
x3 = (cost x) 3 +tx4 +u1,
1
x2 =
x3 +(sint x) 4 +u2 , t +1 t0 = 0,T =1,x10 = x20 = x30 = x40 = 0, xT1 = 0.640532, xT 2 = 0.491302, xT3 =1.61672, xT 4 =1.31002,
⎡ 1 ⎤I U⎣⎡ ( )⎤⎦ u ( ) u ( ) . (6)
⎣ 0 ⎦
В рассматриваемом примере дифференциальные уравнения движения динамического объекта и начальное положение фазового вектора взяты из примера 2.7. Конечное же положение фазового вектора совпадает с той точкой фазового пространства, в которую переводит в конечный момент времени фазовый вектор оптимальное управление из примера 2.
Последовательно вычисляем
⎛ x11 [t,τ] x12 [t,τ] x13 [t,τ] x14 [t,τ]⎞ ⎛0 0⎞ ⎛ x13 [t,τ] x14 [t,τ]⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
X t[ ,τ] = ⎜⎜ xx3121 [[tt,,ττ]] xx3222 [[tt,,ττ]] xx3323 [[tt,,ττ]] xx3424 [[tt,,ττ]]⎟⎟, H t[ ,τ] = X t[ ,τ]⎜⎜10 00⎟⎟ = ⎜⎜ xx3323 [[tt,,ττ]] xx3424 [[tt,,ττ]]⎟⎟
⎜⎜⎝ x41 [t,τ] x42 [t,τ] x43 [t,τ] x44 [t,τ]⎟⎠⎟ ⎜⎜⎝0 1⎟⎟⎠ ⎝⎜⎜ x43 [t,τ] x44 [t,τ]⎟⎟⎠
⎛ x [1,τ]⎞ ⎛ x [1,τ]⎞h[ ]1 ( )τ = ⎛ x13 [1,τ]⎞ , h[ ]2 τ
14 1,τ
αij
⎛ x23 [1,τ]⎞ [ ]3 33 [ ]4 43
= , h τ = , h τ = , τ∈[0,1],
24 [1,τ] 34 [1,τ] 44 [1,τ]
1 = ∫h[ ]1 ( )τ , h[ ]i ( )τ τd , i j, =1,2,3,4 ⇒0
⎛α α α α11 12 13 14 ⎞ ⎛0.766436 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜α α α α21 22 23 24 ⎟ = ⎜0.303602 ⎜α α α α31 32 33 34 ⎟ ⎜ 1.51071 ⎜⎜α α α α41 42 43 44 ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝0.779061 ⎝ | 0.303602 0.557218 0.764328 1.12012 | 1.51071 0.764328 3.3364 1.89574 | 0.779061⎞ ⎟ 1.12012 ⎟ , 1.89574 ⎟ ⎟ 2.6037 ⎟⎠ |
⎛c1 ⎞ ⎛ xT1 ⎞ ⎛ x10 ⎞ ⎛0.640532⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ T 2 ⎟− X [1,0]⎜ x20 ⎟ = ⎜0.491302⎟. c x
⎜c3 ⎟ ⎜ xT3 ⎟ ⎜ x30 ⎟ ⎜ 1.61672 ⎟
⎜⎜⎝c4 ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ xT 4 ⎟⎟⎠ ⎝⎜⎜ x40 ⎟⎠⎟ ⎜⎜⎝ 1.31002 ⎟⎟⎠
Запишем систему линейных алгебраических уравнений (4)
α11 1ν αν αν αν+ 12 2 + 13 3 + 14 4 = c1, αν αν αν αν21 1 + 22 2 + 23 3 + 24 4 = c2,
αν αν αν αν31 1 + 32 2 + 33 3 + 34 4 = c3, αν αν αν αν41 1 + 42 2 + 43 3 + 44 4 = c4.
Ее решением будут числа
ν10 = −0.982227, ν20 = −0.833006, ν30 = 0.790821, ν40 = 0.579604 .
Тогда оптимальное управление определяется по следующей формуле:
U
t h h h h t .Вычислим функционал (5) на оптимальном управлении
⎡ 1 ⎤
00 0 I U⎡⎣ ( )⋅ ⎤⎦ = ⎢ ∫U ( )τ ,U ( )τ τd ⎥ = 0.999712.⎣ 0 ⎦
Заметим, что для оптимального управления из примера 2.7 функционал
(6) принимает значение 1.0 > 0.999712. Такой результат является естественным, поскольку оптимальное управление в примере 2.7 определялось из условия минимума другого критерия, а не функционала (6).
Проверим проведенные вычисления. Покажем, что полученное управление
U 0 ( )⋅ переводит фазовый вектор из положения x0 в положение xT за время [0,1]. Действительно проинтегрируем систему дифференциальных уравнений
x1 = x3,
x2 = x4 ,
x3 = (cost x) 3 +tx4 +U10 (t),
1 0
x2 =
x3 +(sint x) 4 +U2 ( )t , t +1с начальными условиями x10 = x20 = x30 = x40 = 0. В результате получим
⎛ −1.68561⎞
⎜ ⎟ x
x .⎜ −1.6007 ⎟
⎜⎜⎝−2.40392⎟⎟⎠
4.4. Управление по критерию «минимум силы». Конкретизируем процедуру построения оптимального управления, описанную выше, для случая, когда минимизируемый функционал имеет вид
I u⎡⎣ ( )⋅ ⎤⎦ = vrai max u( )τ = vrai max u( )τ τ, u( ) . (1)τ∈[t T0, ]τ∈[t T0, ]
В случае, когда вектор управляющих параметров представляет собой силу (обобщенную силу), функционал (1) оценивает наибольшее значение по модулю этой силы. Отсюда следует вынесенное в заголовок параграфа название рассматриваемого функционала. Нетрудно видеть, что функционал (1) удовлетворяет условиям 1)-3) пункта 4.2.
Для реализации первого этапа процедуры построения оптимального управления необходимо решить следующую задачу:
T
t∫0 u( )τ , h( )τ τd → max, vrayτ∈[t T0max, ] u( )τ τ, u( ) =1. (2)Максимум интеграла в (2) достигается, когда подынтегральная функция принимает максимальное значение почти всюду на промежутке [t T0, ]. Максимальное значение этой функции можно получить, решив следующую задачу математического программирования:
u h, → max, u u, =1, u h, ∈Rs . (3) Максимальным значением целевой функции в (3) служит величина h h, . Тогда норма на пространстве Ω[t0 ,T] определяется формулой T h( )⋅ = ∫ h( )τ , h( )τ τd .t0
Второй этап процедуры – построение «минимального» элемента h0 (⋅) – сводится к задаче математического программирования следующего вида:
T n n T n
∫ ∑l hi [ ]i ( )τ , ∑l hi [ ]i ( )τ τd = ∫∑ h[ ]i ( )τ , h[ ]j ( )τ ll di j τ→ min, l∈L,t0 =1 i=1 t0 i j, =1 i
⎛l10 ⎞
⎜ ⎟
Пусть вектор l 0 = ⎜ ⎟ – решение этой задачи. Тогда «минимальный» элемент и
⎜⎝ln0 ⎟⎠
его норма вычисляются по формулам
n T
h l h 0 h0 ( )τ , h0 ( )τ τdi=1 t0
соответственно.