Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 36 из 49)

Заключительный третий этап построения оптимального управления сводится к следующей задаче на максимум:

T ⁰1

t^∫0 u( )τ , h ( )τ τd → max, vraiτ∈_[t T0max, _] u( )τ τ, u( ) = _ρ0 .

Ее решением является вектор-функция

0 1 h⁰ (τ) ₀

u ( )τ = ₀ ⋅ , h (τ τ) ≠ 0, ∈[t T₀, ], (4)

^ρ h⁰ ( )τ , h⁰ ( )τ

которая и будет оптимальным в смысле функционала (1) управлением. Очевидно, что

I u⎡_⎣ ⁰ ( )⋅ ⎤_⎦= vrai max u⁰ ( )τ τ, u⁰ ( ) =.

τ∈[t T0, ]

Для сравнения заметим, что критерий качества (3.1) («минимум энергии»), вычисленный на программном управлении (4) принимает значение:

^T 1 h⁰ ( )τ 1 h⁰ ( )τ 1 ^T h⁰ ( )τ τ, h⁰ ( ) T −t₀

t∫0 ρ0 ⋅ h0 ( )τ τ, h0 ( ) , ρ0 ⋅ h0 ( )τ τ, h0 ( ) dτ= ρ0 t∫0 h0 ( )τ τ, h0 ( ) dτ= ρ0 . (5)

Пример 5*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект из

примера 4

x₁ = 2x₁ + 2x₂ −30x₃ +u₁, x₂ =10x₁ − x₂ −35x₃ +u₂, x₃ = 2x₁ − x₂ + x₃ +u₃, t₀ = 0,T =1;

x₁₀ = −3, x₂₀ = 2, x₃₀ =1; x_T1 = −80.7746, x_{T 2} = −147,179, x_T3 = −8.94415. Поставим задачу управления этим объектом по критерию качества «минимум силы»

I U⎡⎣ ( )

⎤_⎦ . (6)

Для решения задачи управления последовательно вычисляем

⎛ x₁₁ [t,τ]

X t[ ,τ] = ^⎜_⎜ x₂₁ [t,τ]

^⎜⎝ x₃₁ [t,τ]

⎛ x₁₁ [1,τ]⎞ h[ ]1 ( )τ = ⎜⎜ x12 [1,τ]⎟⎟ ,

⎜⎝ x13 [1,τ]⎟⎠

⎛c₁ ⎞

⎜ ⎟

x₁₂ [t,τ] x₁₃ [t,τ]⎞

x₂₂ [t,τ] x₂₃ [t,τ^]⎟_⎟, H t[ ,τ] = X t[ ,τ]B = X t[ ,τ], x₃₂ [t,τ] x₃₃ [t,τ]^⎟_⎠

⎛ x₂₁ [1,τ]⎞ ⎛ x₃₁ [1,τ]⎞

h[ ]2 ( )τ = ⎜⎜ x22 [1,τ]⎟⎟ , h^{[ ]3} ( )τ = _⎜^⎜ x₃₂ [1,τ τ_]^⎟_⎟, ∈[0,1],

⎜⎝ x23 [1,τ]⎟⎠ ⎜⎝ x33 [1,τ]⎟⎠

⎛ xT1 ⎞ ⎛ x10 ⎞ ⎛−67.4743⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜c2 ⎟ = ⎜ xT 2 ⎟− X [1,0]⎜ x20 ⎟ = −⎜ 115.885⎟.

⎝⎜c3 ⎠⎟ ⎜⎝ xT3 ⎠⎟ ⎝⎜ x30 ⎟⎠ ⎜⎝−5.34546⎠⎟

Запишем задачу математического программирования по определению

минимального элемента h⁰ ( )⋅ ∈Ω[0,1]. Имеем

1

∫ l h1 [ ]1 ( )τ +l h2 [ ]2 ( )τ +l h3 [ ]3 ( )τ , l h1 [ ]1 ( )τ +l h2 [ ]2 ( )τ +l h3 [ ]3 ( )τ τd → min,

0

l c^{2 2} +l c^{3 3} . (7)

l c_{1 1} +l c_{2 2} +l c_{3 3} =1⇔ l₁ =

c1

Эта задача эквивалентна следующей задаче на безусловный минимум

∫10 l c2 2 c+1 l c3 3 h[ ]1 ( )τ +l h2 [ ]2 ( )τ +l h3 [ ]3 ( )τ , l c2 2 c+1 l c3 3 h[ ]1 ( )τ +l h2 [ ]2 ( )τ +l h3 [ ]3 ( )τ τd → min по переменным l₂ и l₃ . Ее решением будут числа

l₂⁰ = −0.038468, l₃⁰ = 0.28735.

Из равенства (6) находим

l₁⁰ = −0.103653.

Тогда

h

t l h l h l h t ,

1

ρ₀ = ∫ h⁰ ( )τ τ τ, h⁰ ( ) d = 0.731198.

0

Оптимальное управление определяется по формуле (4). При этом

⁰ 1

I U⎡_⎣ ( )⋅ ⎤_⎦ =

_ρ0 =1.36762.

Рис. 1

Из него видно, что функционал (6) для этого управления принимает значение

1.53213 >1.36762 = I U⎡_⎣ ⁰ ( )⋅ ⎤_⎦ . Такой результат является естественным, поскольку оптимальное управление в примере 3 определялось для критерия «минимум энергии», а не «минимум силы». Обратно, из формулы (5) следует, что критерий «минимум энергии» на управлении U ⁰ (⋅) принимает значение 1.36762. Этот результат «хуже», чем величина1.34153, которая была получена на оптимальном в смысле критерия «минимум энергии» управлении в примере 3.

Для проверки проведенных вычислений, покажем, что полученное управление U ⁰ ( )⋅ переводит фазовый вектор из положения x₀ в положение x_T за время [0,1]. Действительно, проинтегрируем систему дифференциальных уравнений

x₁ = 2x₁ + 2x₂ −30x₃ +U₁⁰ (t), x₂ =10x₁ − x₂ −35x₃ +U₂⁰ ( )t , x₃ = 2x₁ − x₂ + x₃ +U₃⁰ ( )t

с начальными условиями x₁₀ = −3, x₂₀ = 2, x₃₀ =1. В результате получим

⎛0.0000773993⎞

x⁰ ( )1 − x_T = ^⎜_⎜ 0.000215504 ^⎟_⎟ ≈ 0 .

^⎜⎝0.0000639765^⎟_⎠

Пример 6*. Дифференциальные уравнения движения динамического объекта имеют вид

x₁ = x₃,

x₂ = x₄ ,

x₃ = (cost x) ₃ +tx₄ +u₁,

1

x₂ =

x₃ +(sint x) ₄ +u₂ , t +1 t₀ = 0,T =1,

x₁₀ = x₂₀ = x₃₀ = x₄₀ = 0, x_T1 = 0.640532, x_{T 2} = 0.491302, x_T3 =1.61672, x_{T 4} =1.31002. Поставим задачу управления этим объектом по критерию качества «минимум силы»

I U^⎡⎣ ( )

^⎤_⎦ . (8)

Для решения задачи управления последовательно вычисляем

⎛ x₁₁ [t,τ] x₁₂ [t,τ] x₁₃ [t,τ] x₁₄ [t,τ]⎞ ⎛0 0⎞ ⎛ x₁₃ [t,τ] x₁₄ [t,τ]⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

X t[ ,τ] = ⎜⎜ xx3121 [[tt,,ττ]] xx₃₂₂₂ [[tt,,ττ]] xx₃₃₂₃ [[tt,,ττ]] xx3424 [[tt,,ττ]]⎟⎟, H t[ ,τ] = X t[ ,τ]⎜⎜10 00⎟⎟ = ⎜⎜ xx3323 [[tt,,ττ]] xx₃₄24 [[tt,,ττ]]⎟⎟

⎜⎜⎝ x41 [t,τ] x₄₂ [t,τ] x₄₃ [t,τ] x44 [t,τ]⎟⎠⎟ ⎜⎜⎝0 1⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜ x43 [t,τ] x44 [t,τ]⎟⎟⎠

_{[ ]}1 ⎛ x₁₃ [1,τ]⎞ _{[ ]}2 ⎛ x₂₃ [1,τ]⎞ _{[ ]}3 ⎛ x₃₃ [1,τ]⎞ _{[ ]}4 ⎛ x₄₃ [1,τ]⎞

h ( ) = h ( ) = h ( ) = h ( ) = ∈[ ],

1,τ [1,τ] [1,τ] [1,τ]

_{14 24 34 44}

⎛c₁ ⎞ ⎛ x_T1 ⎞ ⎛ x₁₀ ⎞ ⎛0.640532⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ T 2 ⎟− X [1,0]⎜ x20 ⎟ = ⎜0.491302⎟. c x

⎜c₃ ⎟ ⎜ x_T3 ⎟ ⎜ x₃₀ ⎟ ⎜ 1.61672 ⎟

⎜⎜c4 ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ xT 4 ⎟⎟⎠ ⎝⎜⎜ x40 ⎟⎠⎟ ⎜⎜⎝ 1.31002 ⎟⎟⎠ ⎝

Запишем задачу математического программирования по определению мини-

мального элемента h⁰ ( )⋅ ∈Ω[0,1]. Имеем

1

∫ l h1 [ ]1 ( )τ +l h2 [ ]2 ( )τ +l h3 [ ]3 ( )τ , l h1 [ ]1 ( )τ +l h2 [ ]2 ( )τ +l h3 [ ]3 ( )τ +l h4 [ ]4 ( )τ τd → min ,

0

l c2 2 +l c3 3 +l c4 4 . (9)

l c1 1 +l c2 2 +l c3 3 +l c4 4 =1⇔ l1 =

c1

Эта задача эквивалентна следующей задаче на безусловный минимум:

1 4 4

^∫ l c2 2 +l c3_c13 +l c4 4 _h[ ]¹ ( )τ + ^∑i=2 l hi [ ]ⁱ ( )τ _, l c2 2 +l c3 3_c1 +l c4 4 _h[ ]¹ ( )τ + ^∑i=2 l hi [ ]ⁱ ( )τ τd → min